Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt <math> A = a^2</math>.<br><br>
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Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite <math>a</math>? Natürlich 3 LE.<br><br>
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Es gilt also: <math> a = \sqrt {A}</math>
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Ausgangspunkt war die Gleichung <math> A = a^2</math>. <br>
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Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach <math>a</math> aufgelöst.
  
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Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt <math> A = a^2</math>.<br>
 
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Man weiß von einem Quadrat, dass es den Flächeninhalt 9 FE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.<br>
 
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Es ist <math> a = sqrt A</math>
 
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Wie du in diesem Beispeil gesehen hast, erhält man aus dem Flächeninhalt A eines Quadrats die zugehörige Seitenlänge a des Quadrats.
 
  
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{{Merksatz|MERK=
 
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Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung <math> f: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.
 
  
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Sie entsteht durch Umkehrung der Fragestellung:<br>
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{{Merke|
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Welchen Flächeninhalt A hat ein Quadrat mit Seitenlänge a?<br>
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Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl <math>x</math> ihr Quadrat <math>x^2</math> zu, so erhält man die Quadratfunktion <math>f: x \rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math>.  
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Diese Fragestellung wird durch die Funktion <math>g:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math> beschrieben.
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Man nennt f die '''Umkehrfunktion''' zur Funktion g.
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Wird umgekehrt jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zugeordnet, so ist die Zuordnung <math> g: x \rightarrow \sqrt {x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.
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Die Funktion <math>g</math> wird '''Umkehrfunktion''' der Funktion <math>f</math> genannt.<br>
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Und anstelle von <math>g</math> wird auch <math> f^{-1}</math> geschrieben.<br>
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<br>Die Wurzelfunktion <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt {x}</math>  mit <math> x \in R^+_0</math>  ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion  <math>f: x \rightarrow  x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math>.
 
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In diesem Bild sind die Graphen der Funktionen <math>f: x \rightarrow  x^2</math>  mit <math> x\in R^+_0</math>  und <math> g: x \rightarrow \sqrt {x}</math>  mit <math> x \in R^+_0</math> dargestellt.
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Was fällt dir auf?
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Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen <math>f^{-1}</math> und ihre Funktion <math>f</math> symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.<br>
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Dieser Zusammenhang wird durch das [http://medienvielfalt.zum.de/images/7/7b/ArbeitsblattFaltbild.pdf Arbeitsblatt] verdeutlicht!
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Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.<br>
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Gehe zum Beispiel von der Funktiongleichung <math>y = 2x + 4</math> aus.<br>
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Vertausche in dieser Gleichung <math>x</math> und <math>y</math>: <math>x = 2y + 4</math><br><br>
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Das Umformen dieser Gleichung nach <math>y</math> ergibt die Umkehrfunktion: <math>y = \frac{x-4}{2}</math> also ist <math>y = \frac{x}{2} - 2</math>.
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<br><br>Dieses Verfahren zur Ermittlung der Umkehrfunktion kannst du auch auf Potenz- und Wurzelfunktionen anwenden.
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Ermittle
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# graphisch
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# rechnerisch<br>
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die Umkehrfunktionen zu <math>f:x\rightarrow \sqrt{3x}</math> und <math>g: x\rightarrow x^2 + 3</math>
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Für jede natürliche Zahl <math> n </math> ist die Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^n</math> mit <math> x \in R^+_0</math> umkehrbar.<br>
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Die Umkehrfunktion <math> f^{-1}</math> lautet: <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math>. Sie heißt n-te Wurzelfunktion.
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Die n-te Wurzelfunktion <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> kannst du auch als Potenzfunktion betrachten, deren Exponent ein Stammbruch ist.
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<br>Dann gilt: <math> f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math> n \in N</math>.
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Aufgabe 26: {{Lösung versteckt|1=
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Die Graphen von f und g sind symmetrisch zur Gerade y = x (1. Mediane).
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Aufgabe 27: {{Lösung versteckt|
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# Spiegeln an der Geraden <math> y = x</math>
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# <math>f:x\rightarrow \sqrt{3x}</math>:<br>
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:In der Gleichung <math> y = \sqrt{3x}</math> vertauscht man x und y  und löst dann nach y aufl. Man erhält <math> x = \sqrt{3y}</math> und dann <math>y = \frac{x^2}{3}</math>.<br> Die Umkehrfunktion lautet <math> f^{-1}: x \rightarrow \frac{x^2}{3}</math>. <br>
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:Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist <math>D = R^+_0</math>.
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:<math>g: x\rightarrow x^2 + 3</math>:<br>
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:Zuerst muss man die Definitionsmenge von <math>g</math> auf <math>R^+_0</math> einschränken.<br>
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:In der Gleichung <math> y = x^2 + 3</math> x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält <math> x = y^2 + 3</math> und dann <math>y = \sqrt{x-3}</math>.<br> Die Umkehrfunktion lautet <math> g^{-1}: x \rightarrow \sqrt{x-3}</math>. <br>
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:Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist <math>D = R^+_0</math>.
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'''Bemerkung: '''
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Alle Potenzfunktionen sind für <math>x \in R</math> definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für <math>x \in R^-</math> umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seiten:
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[http://www.mathematik.net/Pot-fkt/Pw4s10.htm Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation]<br>
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[http://www.mathematik.net/Pot-fkt/Pw4s13.htm So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion]

Aktuelle Version vom 16. April 2017, 11:02 Uhr

Startseite --- Die Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen - Weitere Eigenschaften --- Die allgemeine Wurzelfunktion - Übungen und Anwendungen --- Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

E Quadrat1.jpg

Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt A = a^2.

Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite a? Natürlich 3 LE.

Es gilt also: a = \sqrt {A}

Ausgangspunkt war die Gleichung A = a^2.
Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach a aufgelöst.


Nuvola apps kig.png   Merke

Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihr Quadrat x^2 zu, so erhält man die Quadratfunktion f: x \rightarrow x^2 mit x\in R^+_0.

Wird umgekehrt jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zugeordnet, so ist die Zuordnung g: x \rightarrow \sqrt {x} mit x \in R^+_0 die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.

Die Funktion g wird Umkehrfunktion der Funktion f genannt.
Und anstelle von g wird auch f^{-1} geschrieben.

Die Wurzelfunktion f^{-1}: x \rightarrow \sqrt {x} mit x \in R^+_0 ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion f: x \rightarrow x^2 mit x\in R^+_0.


  Aufgabe 26  Stift.gif

In diesem Bild sind die Graphen der Funktionen f: x \rightarrow x^2 mit x\in R^+_0 und g: x \rightarrow \sqrt {x} mit x \in R^+_0 dargestellt.

Umk funk 1.jpg

Was fällt dir auf?


Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen f^{-1} und ihre Funktion f symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.
Dieser Zusammenhang wird durch das Arbeitsblatt verdeutlicht!

Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.
Gehe zum Beispiel von der Funktiongleichung y = 2x + 4 aus.
Vertausche in dieser Gleichung x und y: x = 2y + 4

Das Umformen dieser Gleichung nach y ergibt die Umkehrfunktion: y = \frac{x-4}{2} also ist y = \frac{x}{2} - 2.

Dieses Verfahren zur Ermittlung der Umkehrfunktion kannst du auch auf Potenz- und Wurzelfunktionen anwenden.


  Aufgabe 27  Stift.gif

Ermittle

  1. graphisch
  2. rechnerisch

die Umkehrfunktionen zu f:x\rightarrow \sqrt{3x} und g: x\rightarrow x^2 + 3


Nuvola apps kig.png   Merke

Für jede natürliche Zahl n ist die Potenzfunktion f: x \rightarrow x^n mit x \in R^+_0 umkehrbar.
Die Umkehrfunktion f^{-1} lautet: f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit x \in R^+_0. Sie heißt n-te Wurzelfunktion.

Die n-te Wurzelfunktion f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit x \in R^+_0 kannst du auch als Potenzfunktion betrachten, deren Exponent ein Stammbruch ist.
Dann gilt: f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}} mit x \in R^+_0 und n \in N.


Aufgabe 26: [Lösung anzeigen]

Aufgabe 27: [Lösung anzeigen]


Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für x \in R definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für x \in R^- umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seiten:

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion

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