Einfluss von a: Unterschied zwischen den Versionen

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===Einfluss von a===
 
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Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ a </math> in  
 
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:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x  </math>.  
 
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# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ a </math> ändern. <br>
 
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ a </math> ändern. <br>
 
# Stelle den Schieberegler auf <math> \ a = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
 
# Stelle den Schieberegler auf <math> \ a = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
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# Überlege Dir, wie sich die Werte <math> \ a = 3  </math> und <math> \ a = -1 </math> sowie <math> \ a = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe Deine Vermutung.  <br>
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# Überlege dir, wie sich die Werte <math> \ a = 3  </math> und <math> \ a = -1 </math> sowie <math> \ a = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.  <br>
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# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.  
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# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.}}
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# Teste Dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!}}
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Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
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<quiz display="simple">
 
<quiz display="simple">
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-++- Stauchung in <math> \ y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
 
-++- Stauchung in <math> \ y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
 
++-- Spiegelung an <math> \ x </math>- Achse
 
++-- Spiegelung an <math> \ x </math>- Achse
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---- Spiegelung an <math> \ y </math>- Achse
 
  
 
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Nun betrachten wir den Einfluss von <math> \ a </math> in  
 
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<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="cos_a.ggb" /> <br>
 
<ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="cos_a.ggb" /> <br>
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Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit obige Aufgaben eins bis vier nochmals.
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Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgaben A1/ 2-4 noch einmal.
 
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{{Arbeiten|NUMMER=A3|ARBEIT=
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Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
 
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''Lösung zu Aufgabe A''1: {{versteckt|
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[[Einfluss_von_a/Lösung_zu_Aufgabe_A1|Lösung zu Aufgabe A1]]
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{{Merksatz|MERK=
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Man erhält den Graph der Funktion
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:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x  </math>
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aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>\ y</math>-Achse. Genauer:
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* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>\ a</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \ a </math> gestreckt.
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* Ist der Betrag von <math>\ a</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \ a </math> gestaucht.
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−
* Falls <math> \ a </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>\ x</math>-Achse gespiegelt.
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Der Betrag von <math> \ a </math> wird auch als Amplitude bezeichnet.}}
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</span>
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<graphviz>
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digraph G {
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rankdir=LR;
+
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"Start"-> "|a| > 1";
+
−
"Start"-> "|a| < 1";
+
−
"|a| > 1"->"Streckung in y-Richtung \n mit dem Faktor |a|";
+
−
"Streckung in y-Richtung \n mit dem Faktor |a|" -> "a > 0";
+
−
"a > 0" -> "Ziel";
+
−
"Streckung in y-Richtung \n mit dem Faktor |a|" -> "a < 0";
+
−
"a < 0" -> "Spiegelung an \n der x-Achse";
+
−
"Spiegelung an \n der x-Achse"-> "Ziel";
+
−
"|a| < 1"-> "Stauchung in y-Richtung \n mit dem Faktor |a|";
+
−
"Stauchung in y-Richtung \n mit dem Faktor |a|" -> "a > 0";
+
−
"Stauchung in y-Richtung \n mit dem Faktor |a|" -> "a < 0";
+
−
}
+
−
</graphviz>
+
−
 
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−
 
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−
 
+
−
<!-- Man erhält den Graph der Funktion f: x a sin(x) aus dem Graph der Sinusfunktion durch -->
+
−
[[Bild:N_sin_a.jpg|center]]
+
−
<!-- a > 0: Multiplikation aller Werte mit dem Faktor a, also für
+
−
 
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0 < a < 1: Stauchung um den Faktor a
+
−
 
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−
1 < a: Streckung um den Faktor a
+
−
 
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−
Für negative a (a < 0) muss man den Graph noch an der x-Achse spiegeln. -->
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[[Bild:N_sin_a-.jpg|center]]
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−
 
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−
}}
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−
 
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−
''Lösung zu Aufgabe A''2: {{versteckt|
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−
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> \ a </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
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−
[[Bild:N_cos_a.jpg|center]]
+
−
}}
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''Lösung zu Aufgabe A''3: {{versteckt|
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[[Einfluss_von_a/Lösung_zu_Aufgabe_A2|Lösung zu Aufgabe A2]]
−
Eine mögliche Begründung:
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<math>a\cdot \sin x = 0 ; a\neq 0</math>
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[[Einfluss_von_a/Lösung_zu_Aufgabe_A3|Lösung zu Aufgabe A3]]
  
−
<math>\Leftrightarrow \sin x = 0</math>
+
[[Einfluss_von_a/Lösung_zu_Aufgabe_A4|Lösung zu Aufgabe A4]]
−
d.h. die Nullstellen bleiben gleich. Ferner wird jeder Funktionswert mit einem Faktor multipliziert. Ist dieser Faktor größer als 1, so wird der Graph in Richtung der y-Achse um diesen Faktor gestreckt, ist er kleiner als 1, so wird er entsprechend gestaucht. Ist der Faktor negativ, so wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.}}
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Aktuelle Version vom 18. April 2010, 09:55 Uhr

FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Einfluss von a

Wir betrachten nun den Einfluss von \ a in

x \rightarrow a\cdot \sin x .
  Aufgabe A1  Stift.gif


  1. Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von \ a ändern.
  2. Stelle den Schieberegler auf \ a = 2 ein. Wie ändert sich der Graph?
  3. Überlege dir, wie sich die Werte \ a = 3 und \ a = -1 sowie \ a = 0,5 auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung.
  4. Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.


  Aufgabe A2  Stift.gif

Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!


  Aufgabe A3  Stift.gif

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

1.

\ a<-1; -1<\ a<0; 0<\ a<1; 1<\ a
Verschiebung nach oben
Verschiebung nach unten
Verschiebung nach rechts
Verschiebung nach links
Streckung in \ x - Richtung / Verkleinerung der Frequenz
Stauchung in \ x - Richtung / Vergrößerung der Frequenz
Streckung in \ y - Richtung / Vergrößerung der Amplitude
Stauchung in \ y - Richtung / Verkleinerung der Amplitude
Spiegelung an \ x - Achse

Punkte: 0 / 0


Nun betrachten wir den Einfluss von \ a in

x \rightarrow a\cdot \cos x .


  Aufgabe A4  Stift.gif


Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgaben A1/ 2-4 noch einmal.

Lösung zu Aufgabe A1

Lösung zu Aufgabe A2

Lösung zu Aufgabe A3

Lösung zu Aufgabe A4

Hefteintrag: Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe A1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!

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