Quadratische Funktionen 2 - Köln-Arena: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Medienvielfalt-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(9 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
−
[[Quadratische_Funktionen_2|'''Startseite''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsweg|'''1. Bremsweg''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsbeschleunigung|'''2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen1|'''3. Übungen 1''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Köln-Arena|'''4. Köln-Arena''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Einfluss_der_Parameter|'''5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform''']] - <br>[[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''6. Allgemeine quadratische Funktion''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen3|'''7. Übungen 2''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Aufgaben|'''8. Aufgaben''']]
+
[[Quadratische_Funktionen_2_Startseite|'''Startseite''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsweg|'''1. Bremsweg''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsbeschleunigung|'''2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen1|'''3. Übungen 1''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Köln-Arena|'''4. Köln-Arena''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Einfluss_der_Parameter|'''5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform''']] - <br>[[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen2|'''6. Übungen 2''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''7. Allgemeine quadratische Funktion''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen3|'''8. Übungen 3''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Aufgaben|'''9. Aufgaben''']]
 
</div>
 
</div>
−
 
+
__NOCACHE__
  
 
= Die Köln-Arena =
 
= Die Köln-Arena =
Zeile 20: Zeile 20:
  
 
{{Merke|
 
{{Merke|
−
#Der Koeffizient von <math>x^2</math> auch negativ sein kann. Der Graph ist dann eine nach unten geöffnete Parabel. In diesem Fall ist der Scheitel der höchste Punkt.
+
#Der Koeffizient von <math>x^2</math> kann auch negativ sein. Der Graph ist dann eine nach unten geöffnete Parabel. In diesem Fall ist der Scheitel der höchste Punkt.
 
#Ist der Scheitel S(0/c) der Parabel auf der y-Achse, dann ist der zugehörige Funktionsterm <math>ax^2 + c</math> }}  
 
#Ist der Scheitel S(0/c) der Parabel auf der y-Achse, dann ist der zugehörige Funktionsterm <math>ax^2 + c</math> }}  
  
Zeile 54: Zeile 54:
  
 
{{Aufgabe|
 
{{Aufgabe|
−
Gib die Koordinaten des Scheitels der Parabel der Köln-Arena an!}}
+
1. Was fällt dir auf, wenn du die Scheitelkoordinaten betrachtest?<br>
 +
2. Gib die Koordinaten des Scheitels der Parabel der Köln-Arena an!}}
  
 
{{Lösung versteckt|1=  
 
{{Lösung versteckt|1=  
−
x = 4,85, y = 4,3 }}
+
1. Die Scheitelkoordinaten stimmen mit den Werten von d und e überein.
 +
2. x = 4,85, y = 4,3 }}
  
 
{{Merke|1=
 
{{Merke|1=
Zeile 63: Zeile 65:
 
Es ist x = d und y = e.<br>
 
Es ist x = d und y = e.<br>
 
Der Funktionsterm <math>a (x - d)^2 + e</math> ist die sogenannte '''Scheitelform der quadratischen Funktion'''.}}  
 
Der Funktionsterm <math>a (x - d)^2 + e</math> ist die sogenannte '''Scheitelform der quadratischen Funktion'''.}}  
 +
  
 
{{Aufgabe|1=
 
{{Aufgabe|1=
 +
<div class="lueckentext-quiz">
 
Parameter gesucht! Je einer der Parameter a,  d und e wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird!<br>
 
Parameter gesucht! Je einer der Parameter a,  d und e wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird!<br>
−
Der Scheitel ändert sich nicht, falls <strong>   </strong> varriert wird. <br>
+
Der Scheitel ändert sich nicht, falls <strong> a </strong> varriert wird. <br>
−
Variiert man <strong>     </strong>, so verändern sich die Nullstellen und der Scheitel, aber nicht die Wertemenge.<br>
+
Variiert man <strong> d </strong>, so verändern sich der Scheitel und eventuell die Nullstellen, aber nicht die Wertemenge.<br>
−
Ändern sich die Wertemenge und Scheitel, dann wird <strong>     </strong> variiert.
+
Ändern sich die Wertemenge und Scheitel, dann wird <strong> e </strong> variiert.
−
}}
+
</div>}}
  
−
{{Lösung versteckt|
 
−
Der Scheitel ändert sich nicht, falls a  varriert wird. <br>
 
−
Variiert man  d, so verändern sich die Nullstellen und der Scheitel, aber nicht die Wertemenge.<br>
 
−
Ändern sich die Wertemenge und Scheitel, dann wird e variiert. }}
 
  
 +
<div class="lueckentext-quiz">
 +
Die Graph der Funktion f mit f(x)=a(x - d)² + e heißt <strong> Parabel </strong>. Ist a = 1, so ist der Graph kongruent zur <strong> Normalparabel</strong>.<br>
 +
Quadratische Funktionen mit <strong>d = 0</strong> liegen <strong>symmetrisch </strong> zur <strong>y-Achse</strong>.<br>
 +
Der Punkt S (d;e) heißt <strong>Scheitel </strong>.<br>
 +
Für a>0 gilt: Je <strong>größer </strong>  a ist, desto steiler  ist die Parabel.  <br>
 +
Für a>0 gilt: Je kleiner a ist, desto <strong> weiter </strong> ist die Parabel.  <br>
 +
</div>
 
----
 
----
  
Zeile 85: Zeile 92:
  
 
|}
 
|}
 +
 +
----
 +
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
 +
[[Quadratische_Funktionen_2_Startseite|'''Startseite''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsweg|'''1. Bremsweg''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsbeschleunigung|'''2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen1|'''3. Übungen 1''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Köln-Arena|'''4. Köln-Arena''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Einfluss_der_Parameter|'''5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen2|'''6. Übungen 2''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''7. Allgemeine quadratische Funktion''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen3|'''8. Übungen 3''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Aufgaben|'''9. Aufgaben''']]

Aktuelle Version vom 23. November 2016, 06:58 Uhr

Startseite - 1. Bremsweg - 2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse - 3. Übungen 1 - 4. Köln-Arena - 5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform -
6. Übungen 2 - 7. Allgemeine quadratische Funktion - 8. Übungen 3 - 9. Aufgaben


Die Köln-Arena

Die Köln-Arena wird von einem parabelförmigen Bogen überspannt. Parabeln kennst du als Graphen quadratischer Funktionen. Hier ist die Parabel allerdings nach unten geöffnet und der Scheitel der Parabel ist nicht im Ursprung sondern auf der positiven y-Achse. Eine quadratische Funktion mit so einem Graphen lässt sich durch die Funktionsgleichung f(x) = a x^2 +c beschreiben.


Stift.gif   Aufgabe

Finde mit Hilfe des Applets die Parameter a und c zur quadratischen Funktion f(x) = a x^2 + c.



a = -0,15, c = 2,1, also f(x) = -0,15 x^2 + 2,1
Nuvola apps kig.png   Merke
  1. Der Koeffizient von x^2 kann auch negativ sein. Der Graph ist dann eine nach unten geöffnete Parabel. In diesem Fall ist der Scheitel der höchste Punkt.
  2. Ist der Scheitel S(0/c) der Parabel auf der y-Achse, dann ist der zugehörige Funktionsterm ax^2 + c

Liegt das Bild nicht so im Koordinatensystem, dass der Scheitel auf der y-Achse ist, so kann man trotzdem eine Parabel über den Bogen legen. Es ist ja immer noch das gleiche Bild. Die quadratische Funktion kann man dann mit der Funktionsgleichung f(x) = a(x - d)^2 + e schreiben, wobei a, d und e reelle Parameter sind. Im folgenden Applet ist die quadratische Funktion in dieser Form gegeben.

Stift.gif   Aufgabe

Finde die Parameter a, d, e.



a= -0,15, d = 4,85, e = 4,3, also f(x) = -0,15(x - 4,85)^2 + 4,3


Stift.gif   Aufgabe
  1. Was kannst du über die Parameter a, d, e in f(x) = a (x - d)^2 + e aussagen, wenn der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegt?
  2. Für welche Werte von a ist die Parabel nach unten geöffnet?
  3. Für welche Werte von a ist die Parabel nach oben geöffnet?

  1. d = 0
  2. a < 0
  3. a > 0

Betrachte nun dieses Applet, in dem der Scheitel der Parabel mit eingezeichnet ist. Was fällt dir auf, wenn du den Funktionsterm und die Scheitelkoordinaten betrachtest?


Stift.gif   Aufgabe

1. Was fällt dir auf, wenn du die Scheitelkoordinaten betrachtest?
2. Gib die Koordinaten des Scheitels der Parabel der Köln-Arena an!

1. Die Scheitelkoordinaten stimmen mit den Werten von d und e überein.

2. x = 4,85, y = 4,3
Nuvola apps kig.png   Merke

Aus dem Funktionsterm a (x - d)^2 + e der quadratischen Funktion f mit f(x) = a (x - d)^2 + e kannst du die Koordinaten (x,y) des Scheitels sofort ablesen.
Es ist x = d und y = e.
Der Funktionsterm a (x - d)^2 + e ist die sogenannte Scheitelform der quadratischen Funktion.


Stift.gif   Aufgabe

Parameter gesucht! Je einer der Parameter a, d und e wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird!
Der Scheitel ändert sich nicht, falls a varriert wird.
Variiert man d , so verändern sich der Scheitel und eventuell die Nullstellen, aber nicht die Wertemenge.
Ändern sich die Wertemenge und Scheitel, dann wird e variiert.


Die Graph der Funktion f mit f(x)=a(x - d)² + e heißt Parabel . Ist a = 1, so ist der Graph kongruent zur Normalparabel.
Quadratische Funktionen mit d = 0 liegen symmetrisch zur y-Achse.
Der Punkt S (d;e) heißt Scheitel .
Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel.
Für a>0 gilt: Je kleiner a ist, desto weiter ist die Parabel.

Maehnrot.jpg Als nächstes wollen wir untersuchen, welchen Einfluss die Parameter a, d und e in der Funktionsgleichung f(x) = a (x - d)^2 + c auf den Graphen haben.

Pfeil.gif   Hier geht es weiter.

Startseite - 1. Bremsweg - 2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse - 3. Übungen 1 - 4. Köln-Arena - 5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform - 6. Übungen 2 - 7. Allgemeine quadratische Funktion - 8. Übungen 3 - 9. Aufgaben
Von „http://medienvielfalt.zum.de/index.php?title=Quadratische_Funktionen_2_-_Köln-Arena&oldid=7619“