Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen

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Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben. <br>
 
Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben. <br>
  
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a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> in <math>R^+</math> <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion.jpg]]</center>
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a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> für <math>x \in R^+</math> <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion.jpg]]</center>
  
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b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> in [0;1] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]</center>
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c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> in [0;3] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion.jpg]]</center
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c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> im Intervall [0;3] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion.jpg]]</center>
  
 
Was fällt dir auf?  
 
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Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.
 
Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.
  
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{{Merksatz|MERK=
 
Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton zunehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math>
 
Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton zunehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math>
 
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Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen
 
Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen
 
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a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> in <math>R^-</math>  <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion2.jpg]]</center><br>
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a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> für <math>x \in R^-</math>  <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion2.jpg]]</center><br>
  
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b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> in [2;3] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]</center>
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b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> im Intervall [2;3] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]</center>
  
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c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> in [-3;0] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion2.jpg]]</center>
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c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> im Intervall [-3;0] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion2.jpg]]</center>
  
 
Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?
 
Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?
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Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.
 
Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.
  
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{{Merksatz|MERK=
 
Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton abnehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math>
 
Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton abnehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math>
 
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Hier wird nochmals der Begriff '''Monotonie''' erklärt:  
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In diesem Video wird nochmals der Begriff '''Monotonie''' erklärt:  
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Man könnte diese Begriffe '''monoton zunehmend''' und '''monoton abnehmend''' auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings '''monoton steigend''' und '''monoton fallend'''.
 
Man könnte diese Begriffe '''monoton zunehmend''' und '''monoton abnehmend''' auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings '''monoton steigend''' und '''monoton fallend'''.
  
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{{Merksatz|MERK=
 
Eine Funktionsgraph <math> G_f</math> heißt '''streng monoton steigend''' im Intervall [a;b], wenn die Funktion <math>f</math> dort streng monoton zunehmend ist, <br>
 
Eine Funktionsgraph <math> G_f</math> heißt '''streng monoton steigend''' im Intervall [a;b], wenn die Funktion <math>f</math> dort streng monoton zunehmend ist, <br>
 
d.h.für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math>
 
d.h.für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math>
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d.h. für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math>
 
d.h. für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math>
 
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Für die folgende Multiple-Choice-Aufgabe kannst du als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten.
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{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
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Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
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Du kannst als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten.
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{{Arbeiten|
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NUMMER=5|
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ARBEIT= Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion <math> f: x \rightarrow rx^2 - 2</math> so, dass <math> f</math><br>
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# im Intervall [1;3] monoton zunehmend ist.
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# im Intervall [1;3] monoton abnehmend ist.
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# im Intervall [-2,5;-1] monoton zunehmend ist.
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# im Intervall [-2,5;-1] monoton abnehmend ist.
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# im Intervall [-1;1] monoton zunehmend ist.
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<center>
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}}
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# r > 0
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# r < 0
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# r < 0
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# r > 0
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# es gibt kein r }}
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{{Arbeiten|
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NUMMER=5|
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ARBEIT= Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion <math> f: x \rightarrow sin(rx) + 1</math> so, dass <math> f</math><br>
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# im Intervall [<math> \frac{\pi}{2};\pi</math>] monoton zunehmend ist.
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# im Intervall [<math> \frac{\pi}{2};\pi</math>] monoton abnehmend ist.
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<center>
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<ggb_applet width="566" height="260"  version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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</center>
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}}
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{{Lösung versteckt|
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# <math>0 \le r \le 0,5</math> oder <math>-1,5 \le x \le -1</math>
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# <math>1 \le x \le 1,5</math> oder <math>-0,5 \le x \le 0</math>
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}}
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Aktuelle Version vom 31. Mai 2012, 14:53 Uhr

zurück zu Eigenschaften von Funktionen

  Aufgabe 1  Stift.gif

Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben.

a) f:x \rightarrow x^2 für x \in R^+
Monotonie quadratfunktion.jpg
b) f:x \rightarrow sin(x) im Intervall [0;1]
Montonie sinusfunktion.jpg
c) f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1 im Intervall [0;3]
Monotonie kubikfunktion.jpg

Was fällt dir auf? Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?


Alle drei Funktionsgraphen "steigen" in dem angegebenen Intervall an.

Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.

Maehnrot.jpg
Merke:

Eine Funktion f heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)


  Aufgabe 2  Stift.gif

Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen </center>

a) f:x \rightarrow x^2 für x \in R^-
Monotonie quadratfunktion2.jpg

b) f:x \rightarrow sin(x) im Intervall [2;3]
Montonie sinusfunktion.jpg
c) f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1 im Intervall [-3;0]
Monotonie kubikfunktion2.jpg

Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?


Alle drei Funktionsgraphen "fallen" in dem angegebenen Intervall.


Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.

Maehnrot.jpg
Merke:

Eine Funktion f heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

In diesem Video wird nochmals der Begriff Monotonie erklärt:


Man könnte diese Begriffe monoton zunehmend und monoton abnehmend auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings monoton steigend und monoton fallend.

Maehnrot.jpg
Merke:

Eine Funktionsgraph G_f heißt streng monoton steigend im Intervall [a;b], wenn die Funktion f dort streng monoton zunehmend ist,
d.h.für alle x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

Eine Funktionsgraph G_f heißt streng monoton fallend im Intervall [a;b], wenn die Funktion f dort streng monoton abnehmend ist,
d.h. für alle x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)


  Aufgabe 3  Stift.gif

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!


Monotonie f1.jpg (streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

Monotonie f2.jpg (!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)

Monotonie f5.jpg (!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)

Monotonie f3.jpg (!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)

Monotonie f6.jpg (streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

Monotonie f4.jpg (!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)

Monotonie f7.jpg (streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

  Aufgabe 4  Stift.gif

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

Du kannst als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten.



f:x \rightarrow x^2 im Intervall [2;8] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

f:x \rightarrow 2sin(x) + 3 im Intervall [\pi;\frac{3}{2}\pi] (!streng monoton zunehmend) (streng monoton abnehmend) (!weder noch)

f:x \rightarrow 2^x im Intervall [-1;4] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

f:x \rightarrow log_2(x) im Intervall [-1;4] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

f:x \rightarrow 4-x^2 im Intervall [-1;4] (!streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (weder noch)

f:x \rightarrow x^2+2x+1 im Intervall [2;8] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

f:x \rightarrow x^n mit n gerade im Intervall [-4;-1] (!streng monoton zunehmend) (streng monoton abnehmend) (!weder noch)

f:x \rightarrow x^n mit n ungerade im Intervall [-3;9] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

  Aufgabe 5  Stift.gif

Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion f: x \rightarrow rx^2 - 2 so, dass f

  1. im Intervall [1;3] monoton zunehmend ist.
  2. im Intervall [1;3] monoton abnehmend ist.
  3. im Intervall [-2,5;-1] monoton zunehmend ist.
  4. im Intervall [-2,5;-1] monoton abnehmend ist.
  5. im Intervall [-1;1] monoton zunehmend ist.


  1. r > 0
  2. r < 0
  3. r < 0
  4. r > 0
  5. es gibt kein r
  Aufgabe 5  Stift.gif

Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion f: x \rightarrow sin(rx) + 1 so, dass f

  1. im Intervall [ \frac{\pi}{2};\pi] monoton zunehmend ist.
  2. im Intervall [ \frac{\pi}{2};\pi] monoton abnehmend ist.


  1. 0 \le r \le 0,5 oder -1,5 \le x \le -1
  2. 1 \le x \le 1,5 oder -0,5 \le x \le 0



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