Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 31. Mai 2012, 14:53 Uhr

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Aufgabe 1

Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben.

a) $f:x \rightarrow x^2$ für $x \in R^+$

b) $f:x \rightarrow sin(x)$ im Intervall [0;1]

c) $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ im Intervall [0;3]

Was fällt dir auf? Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Alle drei Funktionsgraphen "steigen" in dem angegebenen Intervall an.

Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.

Merke:

Eine Funktion $f$ heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Aufgabe 2

Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen </center>

a) $f:x \rightarrow x^2$ für $x \in R^-$

b) $f:x \rightarrow sin(x)$ im Intervall [2;3]

c) $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ im Intervall [-3;0]

Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Alle drei Funktionsgraphen "fallen" in dem angegebenen Intervall.

Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.

Merke:

Eine Funktion $f$ heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

In diesem Video wird nochmals der Begriff Monotonie erklärt:

Man könnte diese Begriffe monoton zunehmend und monoton abnehmend auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings monoton steigend und monoton fallend.

Merke:

Eine Funktionsgraph $G_f$ heißt streng monoton steigend im Intervall [a;b], wenn die Funktion $f$ dort streng monoton zunehmend ist,
d.h.für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Eine Funktionsgraph $G_f$ heißt streng monoton fallend im Intervall [a;b], wenn die Funktion $f$ dort streng monoton abnehmend ist,
d.h. für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Aufgabe 3

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

(streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

(!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)

(!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)

(!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)

(streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

(!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)

(streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

Aufgabe 4

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

Du kannst als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten.

$f:x \rightarrow x^2$ im Intervall [2;8] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

$f:x \rightarrow 2sin(x) + 3$ im Intervall [ $\pi;\frac{3}{2}\pi$ ] (!streng monoton zunehmend) (streng monoton abnehmend) (!weder noch)

$f:x \rightarrow 2^x$ im Intervall [-1;4] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

$f:x \rightarrow log_2(x)$ im Intervall [-1;4] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

$f:x \rightarrow 4-x^2$ im Intervall [-1;4] (!streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (weder noch)

$f:x \rightarrow x^2+2x+1$ im Intervall [2;8] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

$f:x \rightarrow x^n$ mit $n gerade$ im Intervall [-4;-1] (!streng monoton zunehmend) (streng monoton abnehmend) (!weder noch)

$f:x \rightarrow x^n$ mit $n ungerade$ im Intervall [-3;9] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

Aufgabe 5

Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion $f: x \rightarrow rx^2 - 2$ so, dass $f$

im Intervall [1;3] monoton zunehmend ist.
im Intervall [1;3] monoton abnehmend ist.
im Intervall [-2,5;-1] monoton zunehmend ist.
im Intervall [-2,5;-1] monoton abnehmend ist.
im Intervall [-1;1] monoton zunehmend ist.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

r > 0
r < 0
r < 0
r > 0
es gibt kein r

Aufgabe 5

Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion $f: x \rightarrow sin(rx) + 1$ so, dass $f$

im Intervall [ $\frac{\pi}{2};\pi$ ] monoton zunehmend ist.
im Intervall [ $\frac{\pi}{2};\pi$ ] monoton abnehmend ist.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$0 \le r \le 0,5$ oder $-1,5 \le x \le -1$
$1 \le x \le 1,5$ oder $-0,5 \le x \le 0$

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 Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben. <br>
-a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> in <math>R^+</math> <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion.jpg]]</center>
+a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> für <math>x \in R^+</math> <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion.jpg]]</center>
-b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> in [0;1] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]</center>
+b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> im Intervall [0;1] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]</center>
-c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> in [0;3] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion.jpg]]</center
+c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> im Intervall [0;3] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion.jpg]]</center>
 Was fällt dir auf?
@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.
-{{Merke|
+{{Merksatz|MERK=
 Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton zunehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math>
 }}
@@ Zeile 33: / Zeile 33: @@
 Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen
 </center>
-a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> in <math>R^-</math>  <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion2.jpg]]</center><br>
+a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> für <math>x \in R^-</math>  <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion2.jpg]]</center><br>
-b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> in [2;3] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]</center>
+b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> im Intervall [2;3] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]</center>
-c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> in [-3;0] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion2.jpg]]</center>
+c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> im Intervall [-3;0] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion2.jpg]]</center>
 Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?
@@ Zeile 49: / Zeile 49: @@
 Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.
-{{Merke|
+{{Merksatz|MERK=
 Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton abnehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math>
 }}
-Hier wird nochmals der Begriff '''Monotonie''' erklärt:
+In diesem Video wird nochmals der Begriff '''Monotonie''' erklärt:
-{{#ev:youtube |rsLOKo6iwqs|350}}
+<center>{{#ev:youtube |rsLOKo6iwqs|350}}</center>
 Man könnte diese Begriffe '''monoton zunehmend''' und '''monoton abnehmend''' auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings '''monoton steigend''' und '''monoton fallend'''.
-{{Merke|
+{{Merksatz|MERK=
 Eine Funktionsgraph <math> G_f</math> heißt '''streng monoton steigend''' im Intervall [a;b], wenn die Funktion <math>f</math> dort streng monoton zunehmend ist, <br>
 d.h.für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math>
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 </div>
-Für die folgende Multiple-Choice-Aufgabe kannst du als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten.
+{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
+Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
+Du kannst als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten.
+}}
 <div class="multiplechoice-quiz">
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 {{Arbeiten|
-NUMMER=4|
+NUMMER=5|
 ARBEIT= Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion <math> f: x \rightarrow rx^2 - 2</math> so, dass <math> f</math><br>
 # im Intervall [1;3] monoton zunehmend ist.
@@ Zeile 138: / Zeile 144: @@
 # im Intervall [-2,5;-1] monoton abnehmend ist.
 # im Intervall [-1;1] monoton zunehmend ist.
+<center>
 <ggb_applet width="566" height="370"  version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
+</center>
 }}
@@ Zeile 155: / Zeile 161: @@
 # im Intervall [<math> \frac{\pi}{2};\pi</math>] monoton zunehmend ist.
 # im Intervall [<math> \frac{\pi}{2};\pi</math>] monoton abnehmend ist.
+<center>
 <ggb_applet width="566" height="260"  version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAFM/I0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAFM/I0AAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vdbb9s2FH5Of8WBnrqttklR18JusW4oViDtBqQbhr1REmOz0W0i5UvRH79DUrLlpCmaZejDjDi8HZ77d3i8fLmvStiKTsmmXnl0TjwQdd4Usl6vvF5fzxLv5Ysny7Vo1iLrOFw3XcX1ygsMpSxWHmdJTGgSzwImollAiJglcUBmUZBEWZrlaUgiD2Cv5PO6eccroVqei6t8Iyp+2eRcW8Ebrdvni8Vut5uPouZNt16s19l8rwoPUM1arbxh8hzZnV3aMUvuE0IXf769dOxnslaa17nwwJjQyxdPLpY7WRfNDnay0JuVF8aBBxsh1xu0iSWJBwtD1KJDWpFruRUKr06W1mZdtZ4l47U5v3AzKI/meFDIrSxEt/LInAVJwHwSoqyU+kmKEptOiloPxHQQuhjZLbdS7BxfM7Mi8ZJumjLjhiV8+gQ+8Qk8MwN1g49DFLkj4vYIc4PvhsANoaMJ3PXAkQaOJnA0AfNgK5XMSrHyrnmp0IWyvu4wfMe10odSWH2GjZP59BnapORHJGYE88T5HPcJeWa+EX4Dc7A4N5JOpOquf6DQUWQYRV8v0n+UoWyU6X/OTD+8x8zoC0Kd3V9jJw0nMlGU/bPfOxLZl8y8LdGtHycwCr6JicvFCJXlgA5QG0M7ZI8WlTJ4YSmEqUl7CiFiI4oxy0OgKQ6xD4gGoCEEIS5pApEZY2AxHgTAIAFDRxlYcIQJ/gtiyyyCEJmZ3RgxCRQFBRAyoBZTASCSwOISMeozpAhDCPGSEU99w4JFEES4YgkEqKOBZEyRkOFFXKN4HxgFZi7TGPwIIsOPBgbqUWJUR5Y+RAQiahgiqhHRDs1InwAz1kSDu2Td9vrMRXlVjFPdtMdYIDXWo1PZc/XprCpeLEueiRIfiisTSYAtLw0irKDrptYwBtF3e+uOtxuZqyuhNd5S8IFv+SXXYv8aqdUo29LmTa1+6xr9U1P2Va0A8qYkR52bkk7m/lFrXLDJQTA9CCcH0WQef1ZugyfQK4Hym06N5Lwo3hiKU2lAT/5al4dXneA3bSPPzVgu7JuzFH1eykLy+g9MViPF+AWOT5ApV+MT5DN/VKTpiquDwgyG/V+ia/AsCubp9IMYO7gjGpA5mX5MYcq5AV+Qnl9KUNrh/jMrXGyPMeJ7cTR/3RloD6abxRv1qilPW9YBP/FW951tH1CJzpj1Y70uhU0SW2/xbc5vsmZ/5bKDOV7vDy2uiFMgW1vHAxYHPwyRYBgzN1oao9mRilgaYinImG6yOJ7T1LcUdszcaKkwf51qg6V0NJOSUYxUtqQR7ww4NvnNS9/XUl+OCy3zm8FS6ujf9VUmTilkCH6Wri0x/VYYkziNmB/FaZCkUXRLKP0vhNpUvJWEyxvR1aIcch5j3Te9chCewKEQuaxw6Q4Gl3ETzt9RAbdbiHUnBnpe2tbNOdSekmk639m2rF53TfWm3r7HXLmlwHIxarlUeSdbk5KQ4TtxI05ZV0jF8ZkppvcMSNH03Dwn6B5tXIPw7fWm6Wx3hlUHR4PNUlTYioG26Vf3lehkfnR0Z9s8VKof9KbzocAZL0OTfcByeCs4o8svlnh8T4ICL9sNN80hHdKQH0R35hrL7W1TjIIHsaXpKqGS+ErOEBAV32MFQX6Zwkqpsa/GWNSnvtppNlQabFJM1743XZmZHAyazORa7icORR/Jj5gT/MyYE1A0FvEb7FSVRbMecGsnv8iiEPVRW15j9tgYYB1rnbmAT4hwmX282qL5tmJMIj8E5k6IjB5HX3Pvy7GYpPLdYITUlYKQTeJBvjIe5LEWDphQJhx0iIaNykeM7H114d8EQfxduyvKlQhZtaXMpX6Am7P/qZvZnAY0TP0oZGGSxin7Bl7etx3yM6aMzsNf3HvTeT3dfwcr7Jnqpx18D7j4AdxPw1uhue5rW9hO7n9MeO6WpAfG5uHemvpjMS3VtmUafv6/+AdQSwcIvPHKrL0FAACbEAAAUEsBAhQAFAAIAAgAUz8jQNY3vbkZAAAAFwAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACABTPyNAvPHKrL0FAACbEAAADAAAAAAAAAAAAAAAAABdAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAFQGAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
+</center>
 }}

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