Wurzelfunktion Anwendungen: Unterschied zwischen den Versionen

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Viele Anwendungen der Wurzelfunktion haben einen Faktor a. Daher wird als erstes die Funktion <math> f: x \rightarrow a \sqrt x </math> betrachtet.
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[[Wurzelfunktion_Startseite|Startseite]] --- [[Wurzelfunktion_Einführung|Die Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_1|Übungen]] - [[Wurzelfunktion_Anwendungen|Anwendungen]] - [[Wurzelfunktionen_Eigenschaften|Weitere Eigenschaften]] --- [[Wurzelfunktion_allgemeine_Wurzelfunktion|Die allgemeine Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen und Anwendungen]] --- [[Wurzelfunktion_Umkehrfunktion|Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion]]
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__NOCACHE__
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{{Arbeiten|
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Viele Anwendungen der Wurzelfunktion haben einen Faktor a. Daher betrachten wir zuerst die Funktion <math> f: x \rightarrow a \sqrt x </math>.
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NUMMER=1| ARBEIT=
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Im Applet ist der Graph der Wurzelfunktion <math> f:x \rightarrow a \sqrt x </math> mit <math>x \in R^+_0</math> dargestellt.<br>
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Variiere mit dem Schieberegler den Wert von a.
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<center><ggb_applet width="650" height="472"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /></center>
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Wie ändert sich der Graph der Wurzelfunktion <math>x \rightarrow \sqrt x</math> für
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# a = -1
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# 0 < a < 1
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# 1 < a
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# a < 0
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{{Lösung versteckt|1=
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# Für a = -1 wird der Graph der Wurzelfunktion <math>x \rightarrow \sqrt x</math> an der x-Achse gespiegelt.
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# Für 0 < a < 1 wird der Graph der Wurzelfunktion <math>x \rightarrow \sqrt x</math> in y-Richtung gestaucht.
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# Für 1 < a wir der Graph der Wurzelfunktion <math>x \rightarrow \sqrt x</math> in y-Richtung gestreckt.
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−
# Für negative a wird der Graph von 2. oder 3. an der y-Achse gespiegelt.}}
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{{Arbeiten|
 
{{Arbeiten|
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NUMMER=2| ARBEIT=  
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NUMMER=12| ARBEIT=  
 
Gib die Funktion, die jeder Oberfläche eines Würfels die Kantenlänge zuordnet als Funktionsterm an.
 
Gib die Funktion, die jeder Oberfläche eines Würfels die Kantenlänge zuordnet als Funktionsterm an.
  
 
# Bestimme zuerst einen Term für Oberfläche O eines Würfels in Abhängigkeit der Kantenlänge a.
 
# Bestimme zuerst einen Term für Oberfläche O eines Würfels in Abhängigkeit der Kantenlänge a.
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# Löse den Term nach a auf.
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# Löse den Term nach a auf und gib eine entsprechende Funktionsgleichung an.
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# Bestimme a für O = 24; 54; 96; 150; 216; ...  
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# Bestimme a für O = 24; 54; 96; 108; 150; 216; ... und halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!
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# Bestimme a für O = 108
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# Zeichne den Graphen der Funktion!
 
}}
 
}}
  
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{{Lösung versteckt|
 
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# <math> O = 6 a^2</math>
 
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# <math> a = \sqrt{\frac{O}{6}} </math>
 
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# <math> a = 2;\; 3;\; 4;\; 5;\; 6;\; ...</math>
 
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# <math> a = 3 \sqrt 2</math>
 
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}}
 
  
 
{{Arbeiten|
 
{{Arbeiten|
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NUMMER=3| ARBEIT=  
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NUMMER=13| ARBEIT=  
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Schau dir diesen Video an.  
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Schau dir dieses Video an. Verwende zum Hören Kopfhörern!
 
  <center>{{#ev:youtube |iK9bhyl6B_E|350}}</center>
 
  <center>{{#ev:youtube |iK9bhyl6B_E|350}}</center>
  
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Die Erde kann näherungsweise als Kugel angesehen werden. Die Sichtweite auf der Erde kann man bei guten Bedingungen durch die Formel <math> s = 3,57 \sqrt h</math>  (vgl. [http://de.wikipedia.org/wiki/Sichtweite#Berechnung Sichtweite]) beschreiben. Dabei ist h die Augenhöhe in m und s die Sichtweite in km. Man geht am besten von der Sichtweite auf dem Meer aus, da dort keine Berge stören. Ansonsten nimmt man die "ideale" Kugelgestalt der Erde ohne Berge und Täler.  
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<div class="multiplechoice-quiz">
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Wie weit kannst du bis zum Horizont sehen?
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Etwa (!50m)  (!500m) (5km) (!50km)
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</div>
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<div class="multiplechoice-quiz">
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MIt welcher Formel kannst du die Sichtweite a berechnen?
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(<math>a = \sqrt{c^2-b^2} </math>)  (!<math>a = \sqrt{b^2-c^2}</math>) (!<math>a = \sqrt{a^2-b^2}</math>) (!<math>a = \sqrt{c^2-a^2}</math>)
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</div>
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Die Erde kann näherungsweise als Kugel angesehen werden. Die Sichtweite auf der Erde kann bei guten Bedingungen näherungsweise durch die Formel <math> s = 3,57 \sqrt h</math>  (vgl. [http://de.wikipedia.org/wiki/Sichtweite#Berechnung Sichtweite]) beschreiben werden. Dabei ist <math>h</math> die Augenhöhe in m und <math>s</math> die Sichtweite in km.  
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<br>Am besten gehst du von der Sichtweite auf dem Meer aus, da dort keine Berge stören.  
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<br>Ansonsten nimmt du die "ideale" Kugelgestalt der Erde ohne Berge und Täler.  
 
# Zeichne den Graphen zur Funktion <math> s: h \rightarrow 3,57 \sqrt h</math>.
 
# Zeichne den Graphen zur Funktion <math> s: h \rightarrow 3,57 \sqrt h</math>.
 
# Wie weit kann man bei einer Augenhöhe von 1,7m bei klarem Wetter sehen. Löse graphisch und rechnerisch.
 
# Wie weit kann man bei einer Augenhöhe von 1,7m bei klarem Wetter sehen. Löse graphisch und rechnerisch.
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{{Lösung versteckt|
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{{Arbeiten|
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NUMMER=14| ARBEIT=
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[[datei:Parabelbrems.jpg|right]]
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Bei den [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/Quadratische_Funktionen_2 quadratischen Funktionen] hast du gelernt, dass der Bremsweg <math>s</math> eines Autos in m, welches mit der Geschwindigkeit <math>v</math> in km/h fährt, mit der Faustregel <math> s = (\frac {v}{10})^2</math> berechnet werden kann.
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# Löse die Gleichung <math> s = (\frac {v}{10})^2</math> nach v auf.
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# Gib die Funktion <math>f</math> mit Defintionsmenge an, die den Zusammenhang Bremsweg --> Geschwindigkeit beschreibt.
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# Löse graphisch und rechnerisch: Mit welcher Geschwindigkeit <math>v</math> in km/h ist ein Auto, das eine Bremsspur von
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a) 20m, <br>
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b) 40m, <br>
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c) 60m, <br>
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d) 80m, <br>
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e) 100m <br>
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gemacht hat, gefahren?<br>
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Aufgabe 12 {{Lösung versteckt|
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# <math> O = 6 a^2</math>
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# <math> a = \sqrt{\frac{O}{6}} </math>
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# <math> a = 2;\; 3;\; 4;\; 3\sqrt2;\; 5;\; 6;\; ...</math>
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# [[Datei:WurzelausO6.jpg]]
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}}
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Aufgabe 13 {{Lösung versteckt|
 
# <br>[[Datei:Wurzelfunktion_3-57.jpg]]
 
# <br>[[Datei:Wurzelfunktion_3-57.jpg]]
 
# 4,65km <br>[[Datei:Wurzelfunktion_3-57_2.jpg]]
 
# 4,65km <br>[[Datei:Wurzelfunktion_3-57_2.jpg]]
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# 786m
 
# 786m
 
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Aufgabe 14 {{Lösung versteckt|
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# <math> v = 10 \sqrt s</math>
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# <math> f: s \rightarrow 10 \sqrt s; D = R^+_0</math>
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# Für die graphische Lösung kannst du in diesem Applet die entsprechenden Werte mit dem Schieberegler einstellen.
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<ggb_applet width="806" height="594"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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a) 44,7 <math> \frac{km}{h}</math><br>
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b) 63,2 <math> \frac{km}{h}</math><br>
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c) 77,5 <math> \frac{km}{h}</math><br>
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d) 89,4 <math> \frac{km}{h}</math><br>
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e) 100 <math> \frac{km}{h}</math><br>
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Aktuelle Version vom 16. April 2017, 09:18 Uhr

Startseite --- Die Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen - Weitere Eigenschaften --- Die allgemeine Wurzelfunktion - Übungen und Anwendungen --- Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

Viele Anwendungen der Wurzelfunktion haben einen Faktor a. Daher betrachten wir zuerst die Funktion f: x \rightarrow a \sqrt x .


  Aufgabe 12  Stift.gif

Gib die Funktion, die jeder Oberfläche eines Würfels die Kantenlänge zuordnet als Funktionsterm an.

  1. Bestimme zuerst einen Term für Oberfläche O eines Würfels in Abhängigkeit der Kantenlänge a.
  2. Löse den Term nach a auf und gib eine entsprechende Funktionsgleichung an.
  3. Bestimme a für O = 24; 54; 96; 108; 150; 216; ... und halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!
  4. Zeichne den Graphen der Funktion!


  Aufgabe 13  Stift.gif

Schau dir dieses Video an. Verwende zum Hören Kopfhörern!

Wie weit kannst du bis zum Horizont sehen? Etwa (!50m) (!500m) (5km) (!50km)

MIt welcher Formel kannst du die Sichtweite a berechnen? (a = \sqrt{c^2-b^2} ) (!a = \sqrt{b^2-c^2}) (!a = \sqrt{a^2-b^2}) (!a = \sqrt{c^2-a^2})

Die Erde kann näherungsweise als Kugel angesehen werden. Die Sichtweite auf der Erde kann bei guten Bedingungen näherungsweise durch die Formel s = 3,57 \sqrt h (vgl. Sichtweite) beschreiben werden. Dabei ist h die Augenhöhe in m und s die Sichtweite in km.
Am besten gehst du von der Sichtweite auf dem Meer aus, da dort keine Berge stören.
Ansonsten nimmt du die "ideale" Kugelgestalt der Erde ohne Berge und Täler.

  1. Zeichne den Graphen zur Funktion s: h \rightarrow 3,57 \sqrt h.
  2. Wie weit kann man bei einer Augenhöhe von 1,7m bei klarem Wetter sehen. Löse graphisch und rechnerisch.
  3. Wie weit kann man von der obersten Plattform des Eiffelturms (276m), vom Mount Everest (8848m), von der ISS (380km) sehen?
  4. Wie hoch muss ein Berg sein, damit man 100km weit sehen kann?


  Aufgabe 14  Stift.gif
Parabelbrems.jpg

Bei den quadratischen Funktionen hast du gelernt, dass der Bremsweg s eines Autos in m, welches mit der Geschwindigkeit v in km/h fährt, mit der Faustregel s = (\frac {v}{10})^2 berechnet werden kann.

  1. Löse die Gleichung s = (\frac {v}{10})^2 nach v auf.
  2. Gib die Funktion f mit Defintionsmenge an, die den Zusammenhang Bremsweg --> Geschwindigkeit beschreibt.
  3. Löse graphisch und rechnerisch: Mit welcher Geschwindigkeit v in km/h ist ein Auto, das eine Bremsspur von

a) 20m,
b) 40m,
c) 60m,
d) 80m,
e) 100m
gemacht hat, gefahren?


Aufgabe 12

  1. O = 6 a^2
  2. a = \sqrt{\frac{O}{6}}
  3. a = 2;\; 3;\; 4;\; 3\sqrt2;\; 5;\; 6;\; ...
  4. WurzelausO6.jpg

Aufgabe 13


  1. Wurzelfunktion 3-57.jpg
  2. 4,65km
    Wurzelfunktion 3-57 2.jpg
  3. 59,3km, 335,8km, 2200km
  4. 786m

Aufgabe 14

  1. v = 10 \sqrt s
  2. f: s \rightarrow 10 \sqrt s; D = R^+_0
  3. Für die graphische Lösung kannst du in diesem Applet die entsprechenden Werte mit dem Schieberegler einstellen.


a) 44,7 \frac{km}{h}
b) 63,2 \frac{km}{h}
c) 77,5 \frac{km}{h}
d) 89,4 \frac{km}{h}
e) 100 \frac{km}{h}

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