Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Wurzelfunktionen|Startseite]] --- [[Wurzelfunktion_Einführung|Die Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_1|Übungen]] - [[Wurzelfunktion_Anwendungen|Anwendungen]] --- [[Wurzelfunktion_allgemeine_Wurzelfunktion|Die allgemeine Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen]] - [[Wurzelfunktion_Anwendungen_2|Anwendungen]] --- [[Wurzelfunktion_Umkehrfunktion|Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion]]
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[[Wurzelfunktion_Startseite|Startseite]] --- [[Wurzelfunktion_Einführung|Die Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_1|Übungen]] - [[Wurzelfunktion_Anwendungen|Anwendungen]] - [[Wurzelfunktionen_Eigenschaften|Weitere Eigenschaften]] --- [[Wurzelfunktion_allgemeine_Wurzelfunktion|Die allgemeine Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen und Anwendungen]] --- [[Wurzelfunktion_Umkehrfunktion|Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion]]
 
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__NOCACHE__
 
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Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.  
 
Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.  
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+
<br><br>
 
Ein Würfel mit der Seitenlänge <math>a</math> hat das Volumen <math> V = a^3</math>.
 
Ein Würfel mit der Seitenlänge <math>a</math> hat das Volumen <math> V = a^3</math>.
  
Ist die Seitenlänge <math>a= 3 cm</math>, dann ist das Volumen <math> V = 27 cm^3</math>.  
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Ist die Seitenlänge <math>a = 3 cm</math>, dann ist also das Volumen <math> V = 27 cm^3</math>.  
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<br>Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen <math> V= 27 cm^3</math> die zugehörige Seitenlänge <math>a= 3 cm</math>.<br>
  
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen <math> V= 27 cm^3</math> die zugehörige Seitenlänge <math>a= 3 cm</math>.<br>
 
  
  
  
  
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{{Arbeiten|NUMMER=18| ARBEIT=
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Im folgenden Applet wird der Seitenlänge <math>a</math> eines Würfels das Volumen <math>V</math> zugeordnet. <br>Der Punkt P hat die Koordinaten (<math>a| V</math>). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für <math>a</math> einstellen.
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<br>
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<center>
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<ggb_applet width="522" height="647"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /></center><br>
  
{{Aufgabe|1=
+
a) Welches Volumen <math>V</math> ergibt sich für <math>a</math> = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!<br>
Im folgenden Applet ist über der Seitenlänge <math>a</math> eines Würfels das Volumen <math>V</math> aufgetragen. Der Punkt V hat die Koordinaten (<math>a, V</math>). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für <math>a</math> einstellen.
+
b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge <math>a</math> das Volumen <math>V</math> eines Würfels zuordnet! <br>
 +
c) Welchen Wert nimmt <math>V</math> für <math>a</math> = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!<br>
 +
d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen <math>V</math> die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen <math>a</math> im Applet ab und ergänze deine Tabelle!
  
<ggb_applet width="522" height="647"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br>
+
}}
  
a) Welches Volumen <math>V</math> ergibt sich für <math>a</math> = 1; 1,5; 2; 2,5?<br>
 
b) Welchen Wert nimmt <math>V</math> für <math>a</math> = 3; 5; 10; 15 an?<br>
 
c) Lies durch Variation des Schiebereglers ab für welche Werte <math>a</math> das Volumen <math>V</math> = 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576 ist.
 
  
 +
Wie kannst du die Seitenlänge <math>a</math> bei gegebenem Volumen <math>V</math> berechnen?
 +
<br>
 +
{{Lösung versteckt|
 +
<math> a = V^{\frac{1}{3}}</math>
 +
 +
<math> a = \sqrt[3]{V}</math><br>
 
}}
 
}}
  
{{Lösung versteckt|
+
 
a) a, 3,375; 8; 15,625<br>
+
{{Merke|  
b) 27; 125; 1000; 3375<br>
+
Die Gleichung <math> a = x^n</math> hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl a als Lösung<br>
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6
+
<center> <math> x = a^{\frac{1}{n}}</math> oder <math> x = \sqrt[n]{a}</math></center>
 +
 
 +
<math> \sqrt[n]{a}</math> heißt die''' n-te Wurzel aus a'''.
 
}}
 
}}
  
  
  
Es ist
+
{{Arbeiten|NUMMER=19| ARBEIT=
 +
a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte
 +
sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
 +
<br>b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar (<math>V</math> entspricht der x-Achse, <math>a</math> entspricht der y-Achse)!}}
  
<center><math> a = V^{\frac{1}{3}}</math></center>
 
  
Man schreibt auch dafür
+
{{Merke|
+
Allgemein ist für jede natürliche Zahl <math>n</math> die allgemeine Wurzelfunktion <math>n</math>-ten Grades oder <math>n</math>-te Wurzelfunktion definiert mit
<center><math> a = \sqrt[3]{V}\</math></center>
+
<br>
 +
<math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math>n \in N</math>.
 +
}}
  
  
 +
{{Arbeiten|NUMMER=20|
 +
ARBEIT= Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion mit Definitionsmenge an!}}
  
{{Merksatz|MERK=
 
Die Gleichung <math> a = x^n</math> hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung<br>
 
<center> <math> x = a^{\frac{1}{n}}</math> oder <math> x = \sqrt[n]{a}\</math></center>
 
  
<math> \sqrt[n]{a}\</math> heißt die''' n-te Wurzel aus a'''.
+
{{Arbeiten|NUMMER=21|
 +
ARBEIT=
 +
# Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion <math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math>
 +
# Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?
 
}}
 
}}
  
  
  
{{Aufgabe|a) Setze verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein, und berechne welche Werte
+
Aufgabe 18: {{Lösung versteckt|
sich für die Seitenlänge a ergeben. Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein.
+
a) 1, 3,375; 8; 15,625<br>
 +
b) <math>V = a^3</math><br>
 +
c) 27; 125; 1000; 3375<br>
 +
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6
 +
}}
  
b) Erstelle ein V-a-Diagramm (V nach rechts, a nach oben antragen!)}}
+
Aufgabe 19: {{Lösung versteckt|
 
+
{{Lösung versteckt|
+
 
Dein Ergebnis kann so aussehen.<br>
 
Dein Ergebnis kann so aussehen.<br>
 
a) [[Datei:Wuerfel_V-a-Tabelle.jpg]]<br>
 
a) [[Datei:Wuerfel_V-a-Tabelle.jpg]]<br>
Zeile 67: Zeile 87:
 
[[Datei:Wuerfel_V-a-graph_2.jpg]] }}
 
[[Datei:Wuerfel_V-a-graph_2.jpg]] }}
  
 +
Aufgabe 20: {{Lösung versteckt|
 +
<math>f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}</math> mit <math>D = R^+_0</math>}}
  
 
+
Aufgabe 21: {{Lösung versteckt|
{{Merksatz|MERK=
+
Man definiert für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion
+
 
+
<math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math>n \in N</math>.
+
}}
+
 
+
 
+
{{Arbeiten|NUMMER=1|
+
ARBEIT= Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion an.}}
+
 
+
{{Lösung versteckt|
+
<math>f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}</math> mit <math>V \in R^+_0</math>
+
}}
+
 
+
 
+
 
+
{{Arbeiten|NUMMER=2|
+
ARBEIT=
+
# Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion <math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\</math>
+
# Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?
+
}}
+
 
+
{{Lösung versteckt|
+
 
1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.
 
1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.
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2. (0;0 und (1;1)
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}}
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<br>2. (0;0 und (1;1)
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ARBEIT=
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Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:<br>
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Variiere mit dem Schieberegler n.
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+
# Was ist der Unterschied zu Aufgabe 2?
+
# Wieso ist dies möglich?
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}}
 
}}
 
{{Lösung versteckt|
 
# Für ungerade n ist der Funktionsgraph auch für negative x gezeichnet.
 
# Es ist <math>(-3)^3=(-3)(-3)(-3)=-27</math> und damit <math>\sqrt[3]{-27}\ = -3</math> oder allgemein <math> (-a)^3=-a^3</math> und damit <math>\sqrt[3]{-a^3}\ = -a </math>, also ist bei ungeraden Exponenten n auch die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl erklärt.
 
}}
 
 
 
 
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Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Als nächstes kannst du wählen, ob du [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen]] oder [[Wurzelfunktion_Anwendungen_2|Anwendungen]] machen willst.
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Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Es geht weiter mit [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen und Anwendungen]].

Aktuelle Version vom 16. April 2017, 09:31 Uhr

Startseite --- Die Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen - Weitere Eigenschaften --- Die allgemeine Wurzelfunktion - Übungen und Anwendungen --- Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion


Wuerfel.jpg

Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.

Ein Würfel mit der Seitenlänge a hat das Volumen  V = a^3.

Ist die Seitenlänge a = 3 cm, dann ist also das Volumen  V = 27 cm^3.
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen  V= 27 cm^3 die zugehörige Seitenlänge a= 3 cm.



  Aufgabe 18  Stift.gif

Im folgenden Applet wird der Seitenlänge a eines Würfels das Volumen V zugeordnet.
Der Punkt P hat die Koordinaten (a| V). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für a einstellen.


a) Welches Volumen V ergibt sich für a = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!
b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge a das Volumen V eines Würfels zuordnet!
c) Welchen Wert nimmt V für a = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!
d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen V die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen a im Applet ab und ergänze deine Tabelle!


Wie kannst du die Seitenlänge a bei gegebenem Volumen V berechnen?

 a = V^{\frac{1}{3}}

 a = \sqrt[3]{V}


Nuvola apps kig.png   Merke

Die Gleichung  a = x^n hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl a als Lösung

 x = a^{\frac{1}{n}} oder  x = \sqrt[n]{a}

 \sqrt[n]{a} heißt die n-te Wurzel aus a.


  Aufgabe 19  Stift.gif

a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar (V entspricht der x-Achse, a entspricht der y-Achse)!


Nuvola apps kig.png   Merke

Allgemein ist für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion definiert mit
 f: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit  x \in R^+_0 und n \in N.


  Aufgabe 20  Stift.gif

Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion mit Definitionsmenge an!


  Aufgabe 21  Stift.gif
  1. Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion  f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}
  2. Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?



Aufgabe 18:

a) 1, 3,375; 8; 15,625
b) V = a^3
c) 27; 125; 1000; 3375
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6

Aufgabe 19:

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a) Wuerfel V-a-Tabelle.jpg
b) Wuerfel V-a-graph.jpg
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Wuerfel V-a-graph 2.jpg

Aufgabe 20:

f:V \rightarrow \sqrt[3]{V} mit D = R^+_0

Aufgabe 21:

1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.



2. (0;0 und (1;1)


Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Es geht weiter mit Übungen und Anwendungen.