Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. April 2017, 10:02 Uhr

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Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt $A = a^2$ .

Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite $a$ ? Natürlich 3 LE.

Es gilt also: $a = \sqrt {A}$

Ausgangspunkt war die Gleichung $A = a^2$ .
Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach $a$ aufgelöst.

Merke

Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl $x$ ihr Quadrat $x^2$ zu, so erhält man die Quadratfunktion $f: x \rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ .

Wird umgekehrt jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zugeordnet, so ist die Zuordnung $g: x \rightarrow \sqrt {x}$ mit $x \in R^+_0$ die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.

Die Funktion $g$ wird Umkehrfunktion der Funktion $f$ genannt.
Und anstelle von $g$ wird auch $f^{-1}$ geschrieben.

Die Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt {x}$ mit $x \in R^+_0$ ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion $f: x \rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ .

Aufgabe 26

In diesem Bild sind die Graphen der Funktionen $f: x \rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ und $g: x \rightarrow \sqrt {x}$ mit $x \in R^+_0$ dargestellt.

Was fällt dir auf?

Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen $f^{-1}$ und ihre Funktion $f$ symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.
Dieser Zusammenhang wird durch das Arbeitsblatt verdeutlicht!

Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.
Gehe zum Beispiel von der Funktiongleichung $y = 2x + 4$ aus.
Vertausche in dieser Gleichung $x$ und $y$ : $x = 2y + 4$

Das Umformen dieser Gleichung nach $y$ ergibt die Umkehrfunktion: $y = \frac{x-4}{2}$ also ist $y = \frac{x}{2} - 2$ .

Dieses Verfahren zur Ermittlung der Umkehrfunktion kannst du auch auf Potenz- und Wurzelfunktionen anwenden.

Aufgabe 27

Ermittle

graphisch
rechnerisch

die Umkehrfunktionen zu $f:x\rightarrow \sqrt{3x}$ und $g: x\rightarrow x^2 + 3$

Merke

Für jede natürliche Zahl $n$ ist die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ mit $x \in R^+_0$ umkehrbar.
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ . Sie heißt n-te Wurzelfunktion.

Die n-te Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ kannst du auch als Potenzfunktion betrachten, deren Exponent ein Stammbruch ist.
Dann gilt: $f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}}$ mit $x \in R^+_0$ und $n \in N$ .

Aufgabe 26: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Graphen von f und g sind symmetrisch zur Gerade y = x (1. Mediane).

Aufgabe 27: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Spiegeln an der Geraden $y = x$
$f:x\rightarrow \sqrt{3x}$ :

In der Gleichung $y = \sqrt{3x}$ vertauscht man x und y und löst dann nach y aufl. Man erhält $x = \sqrt{3y}$ und dann $y = \frac{x^2}{3}$ .
Die Umkehrfunktion lautet $f^{-1}: x \rightarrow \frac{x^2}{3}$ .

Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist $D = R^+_0$ .

$g: x\rightarrow x^2 + 3$ :

Zuerst muss man die Definitionsmenge von $g$ auf $R^+_0$ einschränken.

In der Gleichung $y = x^2 + 3$ x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält $x = y^2 + 3$ und dann $y = \sqrt{x-3}$ .
Die Umkehrfunktion lautet $g^{-1}: x \rightarrow \sqrt{x-3}$ .

Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist $D = R^+_0$ .

Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für $x \in R$ definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für $x \in R^-$ umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seiten:

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion

@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
 Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen <math>f^{-1}</math> und ihre Funktion <math>f</math> symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.<br>
-Dieser Zusammenhang wird durch das [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/7/7b/ArbeitsblattFaltbild.pdf Arbeitsblatt] verdeutlicht!
+Dieser Zusammenhang wird durch das [http://medienvielfalt.zum.de/images/7/7b/ArbeitsblattFaltbild.pdf Arbeitsblatt] verdeutlicht!
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 Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.<br>

Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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