Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt <math> A = a^2</math>.<br><br>
 
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Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl <math>x</math> ihr Quadrat <math>x^2</math> zu, so erhält man die Quadratfunktion <math>f: x \rightarrow  x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math>.  
 
Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl <math>x</math> ihr Quadrat <math>x^2</math> zu, so erhält man die Quadratfunktion <math>f: x \rightarrow  x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math>.  
  
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Wird umgekehrt jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zugeordnet, so ist die Zuordnung <math> g: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.  
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Wird umgekehrt jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zugeordnet, so ist die Zuordnung <math> g: x \rightarrow \sqrt {x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.  
 
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Und anstelle von <math>g</math> wird auch <math> f^{-1}</math> geschrieben.<br>
 
Und anstelle von <math>g</math> wird auch <math> f^{-1}</math> geschrieben.<br>
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In diesem Bild sind die Graphen der Funktionen <math>f: x \rightarrow  x^2</math>  mit <math> x\in R^+_0</math>  und <math> g: x \rightarrow \sqrt x</math>  mit <math> x \in R^+_0</math> dargestellt.
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:Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist <math>D = R^+_0</math>.
 
:Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist <math>D = R^+_0</math>.
  

Version vom 16. April 2017, 09:56 Uhr

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E Quadrat1.jpg

Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt A = a^2.

Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite a? Natürlich 3 LE.

Es gilt also: a = \sqrt {A}

Ausgangspunkt war die Gleichung A = a^2.
Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach a aufgelöst.


Nuvola apps kig.png   Merke

Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihr Quadrat x^2 zu, so erhält man die Quadratfunktion f: x \rightarrow x^2 mit x\in R^+_0.

Wird umgekehrt jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zugeordnet, so ist die Zuordnung g: x \rightarrow \sqrt {x} mit x \in R^+_0 die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.

Die Funktion g wird Umkehrfunktion der Funktion f genannt.
Und anstelle von g wird auch f^{-1} geschrieben.

Die Wurzelfunktion f^{-1}: x \rightarrow \sqrt {x} mit x \in R^+_0 ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion f: x \rightarrow x^2 mit x\in R^+_0.


  Aufgabe 26  Stift.gif

In diesem Bild sind die Graphen der Funktionen f: x \rightarrow x^2 mit x\in R^+_0 und g: x \rightarrow \sqrt {x} mit x \in R^+_0 dargestellt.

Umk funk 1.jpg

Was fällt dir auf?


Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen f^{-1} und ihre Funktion f symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.
Dieser Zusammenhang wird durch das Arbeitsblatt verdeutlicht!

Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.
Gehe zum Beispiel von der Funktiongleichung y = 2x + 4 aus.
Vertausche in dieser Gleichung x und y: x = 2y + 4

Das Umformen dieser Gleichung nach y ergibt die Umkehrfunktion: y = \frac{x-4}{2} also ist y = \frac{x}{2} - 2.

Dieses Verfahren zur Ermittlung der Umkehrfunktion kannst du auch auf Potenz- und Wurzelfunktionen anwenden.


  Aufgabe 27  Stift.gif

Ermittle

  1. graphisch
  2. rechnerisch

die Umkehrfunktionen zu f:x\rightarrow \sqrt{3x} und g: x\rightarrow x^2 + 3


Nuvola apps kig.png   Merke

Für jede natürliche Zahl n ist die Potenzfunktion f: x \rightarrow x^n mit x \in R^+_0 umkehrbar.
Die Umkehrfunktion f^{-1} lautet: f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit x \in R^+_0. Sie heißt n-te Wurzelfunktion.

Die n-te Wurzelfunktion f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit x \in R^+_0 kannst du auch als Potenzfunktion betrachten, deren Exponent ein Stammbruch ist.
Dann gilt: f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}} mit x \in R^+_0 und n \in N.


Aufgabe 26:

Die Graphen von f und g sind symmetrisch zur Gerade y = x (1. Mediane).

Aufgabe 27:

  1. Spiegeln an der Geraden y = x
  2. f:x\rightarrow \sqrt{3x}:
In der Gleichung y = \sqrt{3x} vertauscht man x und y und löst dann nach y aufl. Man erhält x = \sqrt{3y} und dann y = \frac{x^2}{3}.
Die Umkehrfunktion lautet f^{-1}: x \rightarrow \frac{x^2}{3}.
Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist D = R^+_0.
g: x\rightarrow x^2 + 3:
Zuerst muss man die Definitionsmenge von g auf R^+_0 einschränken.
In der Gleichung y = x^2 + 3 x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält x = y^2 + 3 und dann y = \sqrt{x-3}.
Die Umkehrfunktion lautet g^{-1}: x \rightarrow \sqrt{x-3}.
Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist D = R^+_0.


Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für x \in R definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für x \in R^- umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seiten:

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion

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