Quadratische Funktionen 2 - Allgemeine quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Umgekehrt kann man den Term <math> f(x) = ax^2 + bx +c</math> mittels [[Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Ergänzung|quadratischer Ergänzung]] in den Term <math>a(x - d)^2 + e </math> überführen.
 
Umgekehrt kann man den Term <math> f(x) = ax^2 + bx +c</math> mittels [[Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Ergänzung|quadratischer Ergänzung]] in den Term <math>a(x - d)^2 + e </math> überführen.
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Du kannst hier nun den '''Einfluss der Parameter a, b und c''' in der Funktion <math> f</math> mit <math> f(x) = ax^2 + bx + c</math> untersuchen.
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<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit drei Spalten für den Einfluss von <math>\ a,b</math> und <math>\ c</math> anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.
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! style="background-color:#ffff00;" | Einfluss von a !!  style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von b  !! style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von c
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Untersuche [[Quadratische_Funktionen_2_Einfluss_von_c|hier]] den Einfluss von <math> \ c </math>
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Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.
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{{Merksatz|MERK=
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Die <span style="background-color:yellow;">allgemeine quadratische Funktion</span> lautet
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:<span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math> x\rightarrow ax^2 + bx + c </math>'''&nbsp;</span>.
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Dabei sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>\ a,b,c \in \R </math>'''&nbsp;</span> und <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>a,b\neq 0</math>'''&nbsp;</span>.}}
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Vredeutliche dir mit diesem Applet noch einmal die Wirkung der einzelnen Parameter:
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Version vom 17. Juli 2011, 16:22 Uhr

Du hast bisher kennengelernt, dass du eine quadratische Funktion in der Form Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Ergänzung schreiben kannst und aus dieser Darstellung erhältst du die Scheitelkoordinaten S(d;e).

Oft werden quadratische Funktionen in der der Form f(x) = ax^2 + bx +c geschrieben. Auf dieser Seite soll nun der Zusammenhang zwischen beiden Darstellungen gewonnen werden.

Du kennst die binomische Formeln. Damit kannst du (x - d)^2 in x^2 - 2dx + d^2 überführen. Damit ist dann
f(x) = a(x - d)^2 + e = a(x^2 - 2dx + d^2) + e = ax^2 - 2adx + ad^2 - e
Vergleicht man diesen Term mit f(x) = ax^2 + bx +c, dann ist b = 2ad und c = ad^2 - e.

Umgekehrt kann man den Term f(x) = ax^2 + bx +c mittels quadratischer Ergänzung in den Term a(x - d)^2 + e überführen.

Du kannst hier nun den Einfluss der Parameter a, b und c in der Funktion f mit f(x) = ax^2 + bx + c untersuchen.

Hefteintrag: Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit drei Spalten für den Einfluss von \ a,b und \ c anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.

Einfluss von a Einfluss von b Einfluss von c

Untersuche hier den Einfluss von \ a

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \ a x^2 .

Untersuche hier den Einfluss von \ b

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \ x^2 + bx .

Untersuche hier den Einfluss von \ c

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \ x^2 + c .


Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die allgemeine quadratische Funktion lautet

  x\rightarrow ax^2 + bx + c  .

Dabei sind \ a,b,c,d Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  \ a,b,c \in \R   und  a,b\neq 0 .

Vredeutliche dir mit diesem Applet noch einmal die Wirkung der einzelnen Parameter:


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