Der Funktionsbegriff: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Seien A und B zwei Mengen. Eine Funktion von A nach B ist eine Vorschrift, die jedem Element der Menge A ein (d.h. genau ein) Element der Menge B zuweist.}} | + | Seien A und B zwei Mengen. Eine Funktion <math> f</math> von <math>A</math> nach <math>B</math> ist eine Vorschrift, die jedem Element der Menge <math>A</math> ein (d.h. genau ein) Element der Menge <math>B</math> zuweist.}} |
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| + | Die Menge <math>A</math> nennen wir Definitionsmenge, die Menge <math>B</math> heißt Zielmenge.<br> | ||
| + | Wie andere mathematische Objekte auch werden Funktionen mit Symbolen (in der Regel mit Buchstaben) bezeichnet. Bezeichnen wir eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math> mit dem Buchstaben <math>f</math>, so schreiben wir dafür auch | ||
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| + | <math>f : A \right B</math> gesprochen: "<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math>"). | ||
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| + | Wir sagen auch: Jedes <math>x \in A</math> wird von der Funktion <math>f</math> auf ein Element von <math>B</math> abgebildet. Dieses Element von <math>B</math> schreiben wir als <math>f(x)</math>. | ||
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| + | Funktionen werden manchmal auch Abbildungen genannt.<br> | ||
| + | Lässt sich durch einen Term (d.h. durch eine Formel) angeben, wie <math>f(x)</math> aus <math>x</math> ermittelt wird, so sprechen wir von einer "Termdarstellung der Funktion f". So ist beispielsweise durch die Termdarstellung | ||
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| + | <math>f(x) = x^2</math> | ||
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| + | jene Funktion definiert, die jedem Element der Definitionsmenge sein Quadrat zuordnet. Die Aussage <math>f(x) = x^2</math> wird auch als Funktionsgleichung bezeichnet. Eine andere Schreibweise dafür ist | ||
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| + | <math>f : x \right x^2</math>. | ||
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| + | Eine Termdarstellung ist eine durch einen Term ausgedrückte Zuordnungsvorschrift. | ||
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| + | Die meisten elektronischen Rechenwerkzeuge gestatten es, eine Funktion, d.h. eine Zuordnungsvorschrift einzugeben, um sie später bei Bedarf anwenden zu können. | ||
Version vom 21. Dezember 2011, 16:56 Uhr
In den bisherigen Aufgaben ist es darum gegangen, Abhängigkeiten
- durch eine Formel auszudrücken und
- in Tabellenform wiederzugeben
Was haben das Handybeispiel und das Schachtelbeispiel gemeinsam? In beiden Fällen haben wir Vorschriften betrachtet, die es gestatten,
einem gegebenen Objekt (z.B. die Länge der Quadratseite x) Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \right
ein anderes davon abhängiges Objekt (z.B. das Schachtelvolumen V(x))
zuzuordnen. Diese Idee der Zuordnung ist in der Mathematik sehr wichtig. Dabei können wir an ganz unterschiedliche Objekte (wie beispielsweise natürliche Zahlen oder reelle Zahlen) denken.
Wir wollen nun etwas genauer formulieren, wie die Idee der Zuordnung für die Mathematik nutzbar gemacht werden kann. Dazu müssen wir - wie es dem Genauigkeitsanspruch der Mathematik entspricht - für jede konkrete Zuordnung festlegen, um welche Objekte es sich dabei handelt. Wir fassen alle möglichen "gegebenen Objekte" in einer Menge A zusammen und stellen uns vor, dass alle möglichen "abhängigen Objekte" in einer Menge B liegen. So gelangen wir zur Definition des Funktionsbegriffs, wie er in der Mathematik seit mehr als 100 Jahren verwendet wird:
 Merke
Definition: |
Bezeichnungen:
Die Menge 
nennen wir Definitionsmenge, die Menge 
heißt Zielmenge.
Wie andere mathematische Objekte auch werden Funktionen mit Symbolen (in der Regel mit Buchstaben) bezeichnet. Bezeichnen wir eine Funktion von nach mit dem Buchstaben 
, so schreiben wir dafür auch
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): f : A \right B gesprochen: "
Wir sagen auch: Jedes 
wird von der Funktion auf ein Element von abgebildet. Dieses Element von schreiben wir als 
.
Funktionen werden manchmal auch Abbildungen genannt.
Lässt sich durch einen Term (d.h. durch eine Formel) angeben, wie aus 
ermittelt wird, so sprechen wir von einer "Termdarstellung der Funktion f". So ist beispielsweise durch die Termdarstellung
jene Funktion definiert, die jedem Element der Definitionsmenge sein Quadrat zuordnet. Die Aussage wird auch als Funktionsgleichung bezeichnet. Eine andere Schreibweise dafür ist
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): f : x \right x^2 .
Eine Termdarstellung ist eine durch einen Term ausgedrückte Zuordnungsvorschrift.
Die meisten elektronischen Rechenwerkzeuge gestatten es, eine Funktion, d.h. eine Zuordnungsvorschrift einzugeben, um sie später bei Bedarf anwenden zu können.
