Der Funktionsbegriff

Zuordnungen und Wertetabelle - Der Funktionsbegriff - Der Funktionsgraph - Beispiele und Übungen

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Der Funktionsbegriff

In den bisherigen Aufgaben ist es darum gegangen, Abhängigkeiten

• durch eine Formel auszudrücken und
• in Tabellenform wiederzugeben

Was haben das Handybeispiel und das Schachtelbeispiel gemeinsam?

In beiden Fällen haben wir Vorschriften betrachtet, die es gestatten, einem gegebenen Objekt, der unabhängigen Variablen (z.B. die Länge der Quadratseite x), ein anderes davon abhängiges Objekt (z.B. das Schachtelvolumen V(x)) zuzuordnen. Diese Idee der Zuordnung ist in der Mathematik sehr wichtig. Dabei können wir an ganz unterschiedliche Objekte (wie beispielsweise natürliche Zahlen oder reelle Zahlen) denken.
Diese Zuordnung wird oft durch $\rightarrow$ ausgedrückt und man schreibt $x \rightarrow V(x)$.

Aufgabe 5  Finde in diesem Arbeitsblatt die unabhängigen Variablen.

Wir wollen nun etwas genauer formulieren, wie die Idee der Zuordnung für die Mathematik nutzbar gemacht werden kann. Dazu müssen wir für jede konkrete Zuordnung festlegen, um welche Objekte es sich dabei handelt. Wir fassen alle möglichen "gegebenen Objekte" in einer Menge A zusammen und stellen uns vor, dass alle möglichen "abhängigen Objekte" in einer Menge B liegen. So gelangen wir zur Definition des Funktionsbegriffs, wie er in der Mathematik seit mehr als 100 Jahren verwendet wird:

Merke: Definition: Seien A und B zwei Mengen. Eine Funktion $f$ von $A$ nach $B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element der Menge $A$ ein (d.h. genau ein) Element der Menge $B$ zuweist.

Bezeichnungen:

Die Menge $A$ nennen wir Definitionsmenge, die Menge $B$ heißt Zielmenge.
Wie andere mathematische Objekte auch werden Funktionen mit Symbolen (in der Regel mit Buchstaben) bezeichnet. Oft verwendet man $f, g, h, ...$. Bezeichnen wir eine Funktion von $A$ nach $B$ mit dem Buchstaben $f$, so schreiben wir dafür auch

   $f : A \rightarrow B$       gesprochen: "$f$ ist eine Funktion von $A$ nach $B$"

Wir sagen auch: Jedes $x \in A$ wird von der Funktion $f$ auf ein Element von $y\in B$ abgebildet. Dieses Element $y$ von $B$ schreiben wir auch als $f(x)$.

Funktionen werden manchmal auch Abbildungen genannt.

Lässt sich durch einen Term (d.h. durch eine Formel) angeben, wie $f(x)$ aus $x$ ermittelt wird, so sprechen wir von einer Termdarstellung der Funktion $f$. So ist beispielsweise durch die Termdarstellung

  $f(x) = x^2$

jene Funktion definiert, die jedem Element der Definitionsmenge sein Quadrat zuordnet. Die Aussage $f(x) = x^2$ wird auch als Funktionsgleichung bezeichnet. Eine Schreibweise für diese Funktion ist

  $f : x \rightarrow x^2$.

Viele elektronische Rechenwerkzeuge gestatten es, eine Funktion, d.h. eine Zuordnungsvorschrift einzugeben, um sie später bei Bedarf anwenden zu können.

Bemerkung:
In vielen Anwendung der Mathematik auf reale Situationen kommen Abhängigkeiten vor, die durch Formeln beschrieben werden. Beim Aufstellen eines mathematisch strengen Modells einer solchen Situation ist es oft nötig, von Formeln zu Funktionen überzugehen.

Diese Bemerkungen zum Funktionsbegriff stellen dar, worauf es dabei ankommt. Sie werden dir bei den nachfolgenden Aufgaben helfen.

Aufgabe 6  In dieser Aufgabe sollst du den bereits bekannten Zusammenhang zwischen der Gesprächsdauer und der Höhe der Telefonrechnung als Funktion formulieren. Die Höhe der Handyrechnung in Abhängigkeit von der Gesprächsdauer kann durch die Funktionsgleichung $H(t) = 0,06 t + 15$ beschrieben werden. Die unabhängige Variable ist in diesem Fall $t$. Welche Werte von $t$ sind zulässig, welche nicht? Welche Möglichkeiten hast du, $H$ im strengen mathematischen Sinn als Funktion $H: A \rightarrow B$ zu definieren? Gib die Definitions- und Zielmenge an! Gib die abhängige und die unabhängige Variable an! Gib die Funktionswerte für $t$= 0, 15, 43 und 167 an! Für welche Argumente ergibt sich ein Funktionswert von 16,5; 18,84; 26,1? Gib die Funktion H an.

Aufgabe 7  In dieser Aufgabe sollst du einen bereits bekannten Zusammenhang zwischen geometrischen Größen als Funktion formulieren. Im Schachtelbeispiel tritt die Formel $V(x) = (6-2x)^2 x$ auf. Welche Werte von x sind im Rahmen dieses Beispiels (sinnvollerweise) zulässig, welche nicht? Welche Möglichkeiten hast du, V im strengen mathematischen Sinn als Funktion $V: A \rightarrow B$ zu definieren? (Tipp: Setze die Werte x = 4, x = 10 und x = -1 ein und berechne jeweils $V(x)$. Was bedeuten die Resultate?) Gib Definitions- und Zielmenge an! Gib die Funktionswerte für x = 0,5; 1,3 und 2,4 an! Bonus: Für welche Argumente ergibt sich ein Funktionswert von 6,272; 12,544 bzw. 0,972? Tipp: Probiere aus oder verwende die Wertetabelle (Aufgabe 4). Gib die Funktion V an.

Aufgabe 8  Ordne in diesem Arbeitsblatt die richtigen Begriffe zu.

Lösungen

Aufgabe 6: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. $t$ kann Werte $\ge 0$ annehmen.
2. Definitionsmenge ist $R^+$, Zielmenge ist $R$.
3. Die unabhängige Variabel ist $t$, die abhängige Variable $H(t)$.
4. $H(0)=15; H(15)=15,9; H(43)=17,58; H(167)=25,02$
5. $H(25)=16,5; H(64)=18,84; H(185)=26,1$
6. $H : t \rightarrow 0,06 t + 15$ mit $x \in R^+$

Aufgabe 7: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. $x$ kann Werte $0 \le x \le 3$ annehmen.
2. Definitionsmenge ist $[0;3]$, Zielmenge ist $R$.
3. $V(0,5)=12,5; V(1,3)=15,028; V(2,4)=3,456$
4. $V(0,2)=6,272; V(1,6)=12,544; V(2,7)=0,972$
5. $V : x \rightarrow (6-2x)^2 x$ mit $x \in ]0;3[$
   

Bei 4. sind nur jeweils eine Lösung angegeben, die man etwa durch Erstellen einer Wertetabelle oder Ausprobieren erhalten kann.
Mit einem CAS erhältst du natürlich alle Lösungen. Diese schauen, wenn etwa Wurzel vorkommen "furchterschreckend" aus, sind sie aber nicht! Wurzeln sind dir noch nicht bekannt.
Du kannst diese Datei herunterladen und mit GeoGebra-CAS (oder Webstart) öffnen und damit die Berechnungen durchführen.

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Der Graph einer Funktion ist dir schon bekannt. Wir werden ihn auf der nächsten Seite mathematisch exakt definieren.

$\rightarrow$ Der Funktionsgraph