Beispiele

Zuordnungen und Wertetabelle - Der Funktionsbegriff - Der Funktionsgraph - Beispiele und Übungen

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Beispiele und Übungen

Die folgenden Beispiele dienen zur Wiederholung, Anwendung und Vertiefung des bisher Gelernten. Insbesondere sieht man wieder den engen Zusammenhang Funktionsterm, Funktionsgraph und Wertetabelle.

Aufgabe 12  Wähle in diesem Arbeitsblatt die Funktionsdarstellungen (eindeutige Zuordnungen) aus.

Aufgabe 13  Geschwindigkeitsmessung An einer Straße wird die Zeit, die vorbeifahrende Autos benötigen, um eine gekennzeichnete Strecke von 100 Metern zu durchfahren, gemessen. Wird die Zeitspanne t (in Sekunden) gemessen, so ergibt sich daraus eine Geschwindigkeit von $v = \frac {100}{t}$ in $\frac{m}{s}$. a) Erstelle eine Wertetabelle! b) Stelle die Zuordnung $t \rightarrow v(t)$ grafisch dar. c) Definiere $v$ als Funktion $v: A \rightarrow B$! Begründe deine Wahl der Definitionsmenge A und der Zielmenge B! d) Beschreibe in eigenen Worten, wie sich $v$ für kleine und große t verhält! Wie zeigt sich dieses Verhalten an der Lage und Form des Graphen?

Aufgabe 14  Zug und Baustelle Martina fährt zu ihrer Freundin von Wien nach St. Pölten mit der Bahn. Von dem Zug wird durch das automatische Sicherheitssystem jede Minute die Position (in km vom Abfahrtbahnhof) ermittelt und aufgezeichnet: a) Betrachte die Zahlen in der Tabelle! Wie ist die Fahrt verlaufen? Kannst du herausfinden, wo auf der Strecke sich eine Baustelle befindet, die zum Langsamfahren zwingt? Tipp: Die Zahlen der Tabelle nacheinander durchzugehen und zu vergleichen, ist ein bisschen mühsam. Den schnellsten Überblick über den Verlauf der Fahrt erhältst du mit Hilfe einer grafischen Darstellung. Stelle den durch die Tabelle gegebenen Zusammenhang zwischen der vergangenen Zeit und der erreichten Position des Zuges mit einem geeigneten Werkzeug grafisch dar! b) Kannst du anhand der Grafik nun leichter erkennen, wo sich die Baustelle befindet?

Aufgabe 15  Bremsweg Für eine bestimmte PKW-Marke lässt sich der Bremsweg B (in Metern) bei einer Geschwindigkeit v (in km/h) in einer bestimmten Bremssituation durch folgenden Term darstellen: $B(v) = 0,00856 v^2$. a) Formuliere diese Abhängigkeit als Funktion (d.h. wähle Definitions- und Zielmenge)! b) Stelle die Funktion mit einem geeigneten Werkzeug grafisch dar! c) Beschreibe das Verhalten des Bremsweges in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit in deinen eigenen Worten! d) Zeige dass B(30) = 7,704 gilt. Was bedeutet diese Aussage? e) Lies aus dem Graphen folgende Werte ab: Wie lang ist der Bremsweg bei einer Geschwindigkeit von 25 km/h; 72 km/h; 104 km/h; 143 km/h? Kontrolliere die abgelesenen Werte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung! f) Bei welcher Geschwindigkeit ergibt sich ein Bremsweg von ca. 1 m; 35 m; 74 m; 138 m? Kontrolliere die abgelesenen Werte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung!

Aufgabe 16  Temperaturkurve Öffne dieses Applet Temperaturkurve. Dort kannst du einen zeitlichen Temperaturverlauf bestimmen und mitverfolgen, wie die grafische Darstellung zustande kommt. Bearbeite die in der Animationen eingebauten Aufgabenstellungen!

Aufgabe 17  Funktionale Abhängigkeiten verstehen Rufe das Applet Funktionale Abhängigkeiten verstehen auf! Es zeigt eine weitere Darstellungsmöglichkeit für funktionale Abhängigkeiten. Mache dich mit der Funktionsweise dieses Werkzeugs vertraut! a) Studiere mit seiner Hilfe die Funktion $f(x) = x^2 - 5x + 6$. Für welche Werte von x ist f(x) = 0? (Damit hast du die Gleichung $x^2 - 5x + 6 = 0$ gelöst!) b) Mit diesem Tool kannst du auch das Schachtelbeispiel (Aufgabe 3) ein letztes Mal behandeln. Beantworte mit seiner Hilfe die Frage, für welches x das Volumen der Schachtel maximal ist!

Aufgabe 18  Erweitertes Schachtelbeispiel Zum Abschluss eine Verallgemeinerung des Schachtelbeispiels, in dem nicht von einem quadratischen, sondern von einem rechteckigen Stück Papier ausgegangen wird. Aus einem rechteckigen Stück Papier (Seitenlängen 8 und 10) soll eine Schachtel hergestellt werden. Dazu werden bei den Ecken vier kleinere (gleich große) Quadrate herausgeschnitten und das verbleibende Stück Pappe zu einer Schachtel (ohne Deckel) aufgeklappt. a) Ermittle eine Formel für das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate mit x bezeichnet wird! b) Erzeuge mit einem Werkzeug deiner Wahl eine Wertetabelle für diese Abhängigkeit! c) Stelle diese Abhängigkeit mit einem Werkzeug deiner Wahl grafisch dar! d) Formuliere diese Abhängigkeit im mathematisch strengen Sinn als Funktion (d.h. wähle Definitions- und Zielmenge)! e) Benutze die Wertetabelle und/oder den Graphen, um herauszufinden, wie x gewählt werden muss, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß wird!

Lösungen:

Aufgabe 13: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a)

b)

c) $A = R^+$ ; $B = R$ ; Wertemenge $R^+$
d) kleine t: Geschwindigkeit geht gegen $\infty$ ; große t: Geschwindigkeit geht gegen Null

Aufgabe 14: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a)
Der Zug fährt am langsamsten, wenn die Kurve am flachsten (am wenigsten steil) ist, also von der 11. bis zur 16. Minute.
b) Am Graph ist es einfacher zu erkennen,wann der Graph flacher ist, als in der Tabelle, wenn die Abstände kleiner sind.

Aufgabe 15: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Definitionsmenge: $[0;300]$; Zielmenge: $[0;300]$
Schneller als mit 300 km/h kommt man auf einer Autobahn sicher nicht voran!
b)
c) Bei niedrigen Geschwindigkeiten ist der Bremseweg klein, er wächst dann quadratisch mit der Geschwindigkeit, d.h. er nimmt mit wachsender Geschwindigkeit sehr viel schneller zu als die Geschwindigkeit selbst.
d) Bei Tempo 30 km/h beträgt der Bremsweg 7,704m.
e) B(25)=5,35; B(72)=44,38; B(104)=92,58; B(134)=153,7

f) Bei der Geschwindigkeit 11 km/h ergibt sich der Bremsweg 1 m, bei 64 km/h ergibt sich 35m Bremsweg, bei 93 km/h ergibt sich ein Bremsweg von 74 m, bei 127 km/h ist der Bremsweg 138 m.

Aufgabe 16: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $V(x) = (8-2x)(10-2x)x$
b)
c)
d) Definitionsmenge: ]0;=,4[; Zielmenge $R$

e) $x_1=\frac {9-sqrt(21)}{3} (\approx 1,47)$ mit $V(x_1)=\frac{8}{9}(27+7sqrt(21)) (\approx 52,5)$

Aufgabe 17: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) f(x) = 0 für x = 2 oder x = 3

b) maximales Volumen: V=16 - (Einheit für die y-Schiene: 16 Pixel!)

Aufgabe 18: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $V(x) = 4x^3 - 36x^2 + 80x$ mit $0 \leq x \leq 4$
b)

c)
-
d) Definitionsmenge: [0;4], Zielmenge $R$, Wertemenge [0;52,51]

e) Wertetabelle: x = 1,4; Graph x = 1,4 (exakter Wert $3-\frac{sqrt21}{3}\approx 1,4725$ mit CAS berechnet!)

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Du hast nun das Ende des Lernpfads erreicht. Du kennst eine exakte Definition der Funktion und kannst sicher mit Funktionen und ihren Darstellungsformen umgehen. Du hast außerdem Funktionen als Objekte in der Mathematik kennengelernt. Als Objekte in der Mathematik haben Funktionen auch Eigenschaften. Du wirst bei der Behandlung weiterer Funktionstypen Eigenschaften von Funktionen wie Monotonie, Symmetrie, Einfluss von Parametern, ... erfahren. In der SII behandelst du dann Funktionen als Objekte der Mathematik und kannst dein ganzes bis dahin erworbenes Wissen anwenden.

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