Beispiele zum Funktionsbegriff

Zuordnungen und Wertetabelle - Der Funktionsbegriff - Der Funktionsgraph - Beispiele und Übungen

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Der Lernpfad "Funktionen - Einstieg" kann zum Einstieg in das Thema Funktionen eingesetzt werden. Anhand konkreter Aufgabenstellungen soll mit Hilfe des Einsatzes elektronischer Medien Vorwissen aktiviert und vertieft (verschiedene Darstellungsformen für Funktionen wie Formel, Wertetabelle, Graph) sowie neue Kenntnisse zum Funktionsbegriff (Präzisierung der Funktionsdefinition, Bezeichnungen wie Definitionsmenge, Zielmenge, Argument, Funktionswert,…) erarbeitet und an komplexeren Aufgabenstellungen angewendet werden. Funktionen werden als Objekte der Mathematik erkannt.

Zuordnungen und Wertetabellen

Wiederholung

Du hast schon einige Funktionen wie direkte und indirekte Proportionalitäten, sowie lineare Funktionen kennengelernt. Wir wollen nun definieren, was allgemein eine Funktion ist und welche Darstellungsarten Funktionen haben.

Aufgabe Bearbeite beim Lernzirkel Funktionen Station 1 "Funktion, was ist das?" und teste was du von Funktionen kennst. Notiere was du weißt und was du nicht weißt.

Handytarif

Ein Beispiel für einen Zusammenhang zwischen Größen ist die Abhängigkeit der Höhe der Telefonrechnung von der Gesprächszeit. Sie kann in Worten beschrieben oder durch eine Formel ausgedrückt werden.

Aufgabe 1  1. Ein Handybetreiber bietet folgenden Tarif an: Die monatliche Grundgebühr beträgt 15 €. Für 1 Minute telefonieren in alle Netze Österreichs werden 0,06 € verrechnet. Die Abrechnung erfolgt minutengenau (d.h. für eine angebrochene Minute wird der volle Preis für 1 Minute verrechnet). Um schnell ermitteln zu können, wie hoch die Rechnung für eine gegebene Gesprächszeit ist, ist es praktisch, eine Formel dafür zur Hand zu haben: Berechne die Höhe der monatlichen Handyrechnung für eine Gesprächszeit von 1 min! Berechne die Höhe der monatlichen Handyrechnung für eine Gesprächszeit von 2 min! Berechne die Höhe der monatlichen Handyrechnung, wenn die Gesprächszeit (in Minuten) mit t bezeichnet wird! Tipp: Trage die Geldbeträge in die folgende Tabelle ein! Fällt dir eine Gesetzmäßigkeit auf, die es dir erlaubt, auch die letzte Zeile auszufüllen? Die Abhängigkeit der Höhe der Telefonrechnung von der Gesprächszeit kann in Form einer Tabelle dargestellt werden. In der vorhergehenden Aufgabe hast du eine Formel für die Handyrechnung aufgestellt. Sie beschreibt, wie die Höhe der Rechnung von der Gesprächszeit abhängt. 2. An der Hotline des Handyanbieters sitzt ein Mitarbeiter, der Formeln nicht ausstehen kann! Dennoch muss er vielen AnruferInnen mitteilen, wie hoch ihre Rechnung sein wird, wenn sie soundsoviel telefonieren. Er bevorzugt die Verwendung einer Tabelle, in der alle für ihn relevanten Zahlen stehen. Erstelle mit einem Werkzeug deiner Wahl eine Tabelle für den Betreuer der Hotline! Sie soll die Höhe der Rechnung für alle Gesprächszeiten bis 200 Minuten enthalten: Tipp: Hier wird erklärt wie man mit einem Tabellenkalkulationsprogramm arbeitet.

In der Mathematik wird eine Tabelle, wie du sie in der vorigen Aufgabe erstellt hast, als Wertetabelle bezeichnet. In der linken Spalte stehen die Gesprächszeiten, und zu jeder Gesprächszeit t ist in der rechten Spalte der entsprechende Rechnungsbetrag H(t) verzeichnet.

Mit Hilfe einer Tabelle lassen sich verschiedene Fragen schnell beantworten.

Aufgabe 2  In der vorhergehenden Aufgabe hast du eine Wertetabelle erstellt, die der Betreuer der Handy-Hotline benutzen kann, um Fragen zu den Telefonkosten zu beantworten. Umgegend erhält er einige Anrufe. Nimm die Tabelle zur Hand und hilf ihm, die richtigen Auskünfte zu erteilen!

Bau einer Schachtel

In den bisherigen Aufgaben sind nur diskrete Zahlenwerte (ganzzahlige Minuten- und Eurobeträge) vorgekommen. Abhängigkeiten können aber auch für kontinuierlichen Größen, die beliebige reelle Zahlenwerte annehmen können, auftreten.

Aufgabe 3  Aus einem quadratischen Stück Papier (Seitenlänge 6) soll eine Schachtel hergestellt werden. Dazu werden bei den Ecken vier kleinere (gleich große) Quadrate herausgeschnitten und das verbleibende Stück Pappe zu einer Schachtel (ohne Deckel) aufgeklappt. Betrachte dazu die Flash-Animation Wie muss die Schachtel dimensioniert werden, damit ihr Volumen möglichst groß ist? Dazu fragen wir zunächst, wie groß ihr Volumen überhaupt ist! Das hängt natürlich davon ab, wie groß die Quadrate sind, die zunächst herausgeschnitten wurden. Berechne das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate 1 beträgt! Berechne das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate 2 beträgt! Ermittle eine Formel für das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate (wie in der Animation) mit x bezeichnet wird!

Auch diese Form der Abhängigkeit einer Größe von einer anderen kann in Tabellenform dargestellt werden. Allerdings haben wir hier die Freiheit, zu wählen, wie viele Eintragungen eine solche Tabelle enthalten soll.

Die Abhängigkeit einer reellen Größe von einer anderen kann in Form einer Tabelle dargestellt werden. Allerdings können wir nicht alle reellen Zahlen aufzählen und müssen uns daher auf einzelne ausgewählte Werte beschränken. Dementsprechend können aus einer Abhängigkeit verschiedene Tabellen (die sich z.B. durch die Schrittweite unterscheiden) gewonnen werden.

Aufgabe 4  In der vorhergehenden Aufgabe wurde das Volumen der Schachtel in Abhängigkeit von x, der Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate, berechnet. Was nützt uns eine solche Formel? Wir können die durch sie beschriebene Abhängigkeit auf verschiedene Weisen darstellen. Eine Darstellungsform ist die Wertetabelle, d.h. eine Auflistung von ausgewählten Werten von x mit den zugehörigen Werten von V(x). Eine einfache Wertetabelle sieht so aus: Sie besagt: Haben die herausgeschnittenen Quadrate die Seitenlänge 1, so ist das Volumen der Schachtel 16. Haben die herausgeschnittenen Quadrate die Seitenlänge 2, so ist das Volumen der Schachtel 8. Wir wollen es aber jetzt genauer wissen! Erstelle aus der Formel $V(x) = (6 - 2x)^2x$ für das Schachtelvolumen eine Wertetabelle für Werte von x zwischen 0 und 3 mit einer Schrittweite von 0,3, und eine Wertetabelle für Werte von x zwischen 0 und 3 mit einer Schrittweite von 0,1! Wenn du die Tabellen fertiggestellt hast, betrachte die in ihnen stehenden Zahlen. Beantworte die folgenden Fragen: Wie ist x zu wählen, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß wird? Wie groß ist dieses maximale Volumen? Verfolge und beschreibe in eigenen Worten, wie sich die Werte von V mit wachsendem x verändern. Erkläre ihr Verhalten! Warum ist das Volumen zunächst klein, wächst dann an und wird schließlich wieder kleiner? Wie genau ist deine Antwort auf die Frage 1?

Lösungen

Aufgabe 1: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Wird die Höhe der Handyrechnung mit H und die Anzahl der Minuten mit t bezeichnet, so kann man schreiben: $H = 0,06 t + 15$
Um zum Ausdruck zu bringen, dass die Höhe der Handyrechnung von t abhängt, ist auch die Schreibweise $H(t) = 0,06 t + 15$ (gesprochen "H von t ist gleich…") gebräuchlich.
2. Tabelle per Hand oder mit einer Tabellenkalkulation erstellen!

Aufgabe 2: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

(1) Silvia muss 18,60 € zahlen
(2) Fritz Rechnung beträgt 19,50 €
(3) Sabine darf höchstens 100 Minuten im Monat telefonieren

(4) Max hat nicht Recht, da die Grundgebühr nur einmal verrechnet wird.

Aufgabe 3: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Das Volumen der Schachtel ist $(6 - 2x)^2 x$. Wird das Volumen mit V bezeichnet, so können wir auch schreiben:

$V = (6 - 2x)^2 x$.

Um zum Ausdruck zu bringen, dass das Volumen von x abhängt, ist auch die Schreibweise

$V(x) = (6 - 2x)^2 x$

(gesprochen "V von x ist gleich ...") gebräuchlich.

Aufgabe 4: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

In diesen beiden GeoGebra-Dateien sind die Werte für Schrittweite 0,3 und Schrittweite 0,1 notiert.

1. x = 0,9 für Schrittweite 0,3; x = 1 für Schrittweite 0,1
2. x beginnt ab x = 0 zu wachsen. Die Werte von V nehmen von V=0 aus zu. Das Volumen nimmt einen größten Wert in der Wertetabelle an und dann wieder ab bis wieder V=0 ist.
3. Zuerst ist die Höhe Null oder fast Null, damit ist das Volumen auch etwa Null. Gegen Ende wird die Grundfläche fast Null oder Null und damit auch wieder das Volumen.
4. Genauigkeit +/-0,15 für Schrittweite 0,3 und +/- 0,05 für Schrittweite 0,1

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Als nächstes wollen wir genau definieren, was Funktionen in der Mathematik sind.

$\rightarrow$ Der Funktionsbegriff