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| | [[Funktionen_Einstieg/Symmetrie]] | | [[Funktionen_Einstieg/Symmetrie]] |
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| − | =Grenzwert=
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| − | {{Merke|
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| − | Zuerst vereinbaren wir:
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| − | sehr große positve Zahlen sind solche positive Zahlen mit großem Betrag (z.B. 1000000)<br>
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| − | sehr großen negative Zahlen sind solche negative Zahlen mit großem Betrag (z.B. –1000000)
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| − | sehr kleine positive Zahlen sind solche positive Zahlen mit kleinem Betrag (z.B. 0,0000001)<br>
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| − | sehr kleinen negative Zahlen solche negative Zahlen mit kleinem Betrag (z.B. –0,0000001 )
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| − | Grenzwerte von Funktionen spiegeln das Verhalten im Unendlichen wieder oder, falls wir x gegen einen anderen Wert als unendlich laufen lassen, das entsprechende Verhalten.
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| − | '''Beispiel:''' Wir betrachten die Funktion <math> f: x \rightarrow x^2</math>
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| − | Wir wollen x gegen unendlich und gegen minus unendlich laufen lassen.
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| − | Wir schreiben für x gegen unendlich: <math>\lim_{n \to \infty}x^2</math>
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| − | und für x gegen minus unendlich: <math>\lim_{n \to -\infty}x^2</math>
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| − | Da in beiden Fällen die Funktionswerte immer größer werden und über alle Grenzen wachsen, ist dann <math>\lim_{n \to \infty}x^2 = \infty</math> und <math>\lim_{n \to -\infty}x^2 =\infty</math>
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| − | Ein Plus-oder Minuszeichen rechts hochgestellt an einer Zahl bei Grenzwerten bedeutet Annäherung von rechts – bzw. von links her an die Zahl
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| − | <math>\lim_{n \to 3^+}x^2</math> heißt: x ist bei der Annäherung größer als 3, also z.B. 3,1 ; 3,01 ; 3,001 usw.
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| − | <math>\lim_{n \to 3^-}x^2</math> heißt: x ist bei der Annäherung kleiner als 3, also z.B. 2,9 ; 2,99 ; 2,999 usw.
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| − | Es ist dann <math>\lim_{n \to 3^+}x^2 = 9 </math> bzw. <math>\lim_{n \to 3^-}x^2 = 9</math>.
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| − | Auf dieser [http://www.mathematik-wissen.de/grenzwerte_von_funktionen.htm Seite] sind zwei Beispiele ausführlich erklärt.
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| − | Auf den folgenden Seiten sind zum Thema Grenzwert weitere Erklärungen und Beispiele zu finden:
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| − | # [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g01s05.htm Grenzwert an einer Stelle]
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| − | # Beispiel [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g01s05.htm mit Grenzwert] und [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g02s34.htm ohne Grenzwert]
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| − | # Beispiele: [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g03s10.htm Identische Funktion], [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g03s12.htm konstante Funktion], [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g03s45.htm Betragsfunktion], [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g03s30.htm trigonometrische Funktionen], [http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/g03s35.htm Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen]
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| − | {{Arbeiten|
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| | =Symmetrie zum Koordinatensystem= | | =Symmetrie zum Koordinatensystem= |
Du hast nun Funktionen als Objekte in der Mathematik kennengelernt. Wir wollen als Nächstes untersuchen, welche Eigenschaften Funktionen haben.
