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Version vom 25. Juni 2012, 16:19 Uhr

Aufgabe xy

Wann ist ein Sektglas halb voll?

Ein Sektglas ist oben kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 2,5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,639 cm ist das Glas mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³)

Nun interessiert die Frage, wann ist das Glas halb voll?
Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll.

Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe.

1. Gib eine Formel für das Volumen mit Füllhöhe h an.

2. Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r.

3. Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an.

4. Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf.

5. Bestimme zu $V = \frac{1}{2}V_0$ die passende Höhe h.

Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten $\frac{V}{V_0}$ angegeben.

6. Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. $V = \frac{1}{3}r^2\pi h$

2. $\frac{h}{H}=\frac{r}{R}$

3. Mit $r = \frac{hR}{H}$ ergibt sich $V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3} \frac{R^2}{H^2}\pi h^3 = \frac{1}{3}R^2\pi H \frac{h^3}{H^3}=V_0 (\frac{h}{H})^3$ , wobei $V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H$ das Glasvolumen ist.

4. Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}

oder Fehler beim Parsen(Syntaxfehler):  h = \sqrt[3]{\frac{3VH^2}{R^2 \pi}

5. $h = H \sqrt[3]{\frac{1}{2}}=0,7937H\approx 0,8H = 6,4 cm$

Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.

6. 5,0 cm; 5,9 cm; 7,3 cm

2

$-\cos [\frac{x}{2}]$ $-0,5 \cdot \sin [2x]$ $2 \cdot \sin [x]$ cos [x]sin [x] $\cos[x+\frac{\pi}{4}]$

4

Memory

$\cos(x+\frac{\pi}{4})$ $\cos x$ $2 \cdot\sin x$ $-0,5 \cdot \sin (2x)$ $\sin x$ $-\cos \frac{x}{2}$

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 . Bestimme zu <math>V = \frac{1}{2}V_0</math> die passende Höhe h.
+Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten <math>\frac{V}{V_0}</math> angegeben.
+<ggb_applet width="449" height="525"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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