Quadratische Funktionen 2 - Köln-Arena

Die Köln-Arena wird von einem parabelförmigen Bogen überspannt. Parabeln kennst du als Graphen quadratischer Funktionen. Hier ist die Parabel allerdings nach unten geöffnet und der Scheitel der Parabel ist nicht im Ursprung sondern auf der positiven y-Achse. Eine quadratische Funktion mit so einem Graphen lässt sich durch die Funktionsgleichung $f(x) = a x^2 +c$ beschreiben.
Finde mit Hilfe des Applets die Parameter a und c zur quadratischen Funktion $f(x) = a x^2 + c$.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a = -0,15, c = 2,1, also $f(x) = -0,15 x^2 + 2,1$

Merke Der Koeffizient von $x^2$ auch negativ sein kann. Der Graph ist dann eine nach unten geöffnete Parabel. In diesem Fall ist der Scheitel der höchste Punkt. Ist der Scheitel S(0/c) der Parabel auf der y-Achse, dann ist der zugehörige Funktionsterm $ax^2 + c$

Liegt das Bild nicht so im Koordinatensystem, dass der Scheitel auf der y-Achse ist, so kann man trotzdem eine Parabel über den Bogen legen. Es ist ja immer noch das gleiche Bild. Die quadratische Funktion hat dann allerdings die Funktionsgleichung $f(x) = a x^2 + bx + c$ mit den Parameter a, b, c.
Finde mit Hilfe des Applets die Werte für a, b und c.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a = -0,15, b = 1,45, c = 0,8, also $f(x) = -0,15 x^2 +1,45x + 0,8$

Durch quadratische Ergänzung kannst du den Funktionsterm $a x^2 + bx + c$ auf die Form $a(x-d)^2 + e$ bringen. Im folgenden Applet ist die quadratische Funktion in dieser Form gegeben. Finde die Parameter a, d, e.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a= -0,15, d = 4,85, e = 4,3, also $f(x) = -0,15(x - 4,85)^2 + 4,3$

Aufgabe Was kannst du über die Parameter a, b, c in $f(x) = a x^2 + bx + c$ aussagen, wenn der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegt? Was kannst du über die Parameter a, d, e in $f(x) = a (x - d)^2 + e$ aussagen, wenn der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegt? Für welche Werte von a ist die Parabel nach unten geöffnet? Für welche Werte von a ist die Parabel nach oben geöffnet?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. b = 0
2. d = 0
3. a < 0
4. a > 0

Merke Aus dem Funktionsterm $a (x - d)^2 + e$ der quadratischen Funktion f mit $f(x) = a (x - d)^2 + e$ kannst du die Koordinaten (x,y) des Scheitels sofort ablesen. Es ist x = d und y = e.

Als nächstes wollen wir untersuchen, welchen Einfluss die Parameter a, d und e in der Funktionsgleichung $f(x) = a (x - d)^2 + c$ auf den Graphen haben.   Hier geht es weiter.