Quadratische Funktionen 2 - Aufgaben

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Hier lernst du, wenn du noch Lust hast, einiges über den Anhalteweg eines Autos.

Der Anhalteweg

Wir haben oben gesehen, dass man selbst bei relativ moderaten Geschwindigkeiten mit beachtlichen Bremswegen rechnen muss. Dabei blieb jedoch noch unberücksichtigt, dass der Anhalteweg nicht allein der reine Bremsweg ist, sondern dass zum Bremsweg auch noch der sogenannte Reaktionsweg hinzukommt.
Der Bremsweg ist derjenige Weg, den das Fahrzeug vom Beginn des Bremsvorgangs bis zum Stillstand zurücklegt. Er berücksichtigt also nicht, dass man nach dem Auftreten des Hindernisses eine gewisse Zeit (die Reaktionszeit') benötigt, bis man überhaupt reagieren kann und bremst. Der Weg, den das Fahrzeug angesichts der Reaktionszeit noch ungebremst zurücklegt, nennt man Reaktionsweg.

Aufgabe

Aufgabe 1  Man kann davon ausgehen, dass die Reaktionszeit bei einem gewöhnlichen Autofahrer nicht länger als eine Sekunde ist. Berechne den Reaktionsweg , der sich bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h, 50 km/h, 100 km/h aus einer Reaktionszeit von einer Sekunde ergibt. Ermittle eine Formel, mit Hilfe derer man den Reaktionsweg aus der Geschwindigkeit berechnen kann. Geh dabei wieder von einer Reaktionszeit von einer Sekunde aus. Ermittle eine möglichst einfache Formel, mit Hilfe derer man den Anhalteweg aus der Geschwindigkeit berechnen kann. Stelle den Anhalteweg in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit grafisch dar. Gehe wieder von einer Reaktionszeit von 1 Sekunde aus und verwende aB = 5 m/s2. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 1. v = 30 km/h <=> 30 km in einer Stunde <=> 30000 m in 3600 Sekunden <=> $\frac{30000}{3600}$ m in 1 Sekunde <=> 8,3 m in einer Sekunde D.h. bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h und einer Reaktionszeit von 1 Sekunde beträgt der Reaktionsweg ca. 8,3 m. genauso folgt: v = 50 km/h => Reaktionsweg ca. 13,9 m und v = 100 km/h => Reaktionsweg ca. 27,8 m 2. Reaktionsweg = Geschwindigkeit (in m/s) mal Reaktionszeit 3. Anhalteweg = Bremsweg + Reaktionsweg bzw. $s_A = \frac{1}{2 a_B} \cdot v^2 + t_R \cdot v$ 4.

Experimentieren mit einem Applet zum Anhalteweg

Aufgabe 2  Experimentiere mit dem nachfolgenden Applet. Beschreibe, welchen Einfluss Geschwindigkeit, Bremsbeschleunigung und Reaktionszeit auf den Anhalteweg haben. Bei welchem Wert für aB ist der Anhalteweg bei einer Geschwindigkeit von 70 km/h und einer Reaktionszeit von 1,5 s ungefähr 70 m lang? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 1. --- 2. Der Anhalteweg ist umso länger, je höher die Geschwindigkeit ist, je geringer die Bremsbeschleunigung ist, je höher die Reaktionszeit ist. 3. a = 4,6 m/s2

Im folgenden Applet ist der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Anhalteweg dargestellt worden. Mit Hilfe der Schieberegler können Geschwindigkeit v, Bremsbeschleunigung a_B und Reaktionszeit t_R variiert werden.

 

Löse mit diesem Applet folgende Aufgabe.

Aufgabe 3  Es passierte an einem sonnigen Tag, irgendwo auf einer idyllischen Straße durch einen lichten Wald. Herr Meier fuhr in seinem Cabriolet mit entspannten 80 km/h die kerzengerade Straße entlang, als plötzlich 60 m vor ihm ein Hirsch auf die Straße läuft... 1. Wie geht die Geschichte aus, wenn Herr Meier a) hochkonzentriert auf den Verkehr geachtet hat (tR = 1,0 s), b) er gerade mit einem Freund telefoniert hat (tR = 2,0 s)? 2. Angenommen, Herr Meier hatte zum Mittagessen zwei Bier und einen Verdauungsschnaps getrunken. Seine Reaktionszeit wäre damit auf 2,5 s gestiegen. Wie schnell hätte er höchstens fahren dürfen, um noch rechtzeitig zum Stehen zu kommen? Verwende jeweils aB = 7 m/s2 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 1. a) s = 57,5 m, d.h. er kommt kurz vor dem Hirsch zum Stehen 1. b) s = 79,7 m, d.h. er kommt nicht mehr rechtzeitig zum Stehen 2. v = 58 km/h

Den Einfluss der verschiedenen Faktoren auf die Länge des Anhalteweges kannst du auch mit diesem Applet untersuchen.

Beim Bremsen eines Pkws ist der also Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem zurückgelegten Weg durch eine quadratische Funktion der Form
f(x) = ax² + bx beschrieben, wobei der reinquadratische Teil den Bremsweg und der lineare Teil den Reaktionsweg bestimmt.

Aufgabe 4  Welche Bedeutung hat der konstante Teil des Funktionsterms im Anwendungsbeispiel "Abbremsen eines Pkw"? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Der lineare Teil gibt den Weg an, den das Fahrzeug zurücklegt, bevor die Gefahrensituation eintritt. Beispiel: Ein Fahrzeug biegt in eine Straße ein. Nach 30 m sieht der Fahrer, dass vor ihm ein Ball auf die Straße rollt und bremst. Wieviel Meter von der Kreuzung entfernt kommt das Fahrzeug zum Stehen? Entfernung zur Kreuzung: s = a·v2 + b·v + c mit c = 30m

Übungen

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Aufgabe 5: Anhalteweg Die Funktion s(v) = 0,1v2 + 1,5v ist ein Beispiel für eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen der anfänglichen Geschwindigkeit eines Fahrzeuges in m/s und dem Anhalteweg für einen konkreten Bremsvorgang angibt. Welchen Wert hat in diesem Beispiel die Reaktionszeit tR? Welchen Wert hat die Bremsbeschleunigung aB? Wie lang ist der Anhalteweg bei einer anfänglichen Geschwindigkeit von 72 km/h (also 20 m/s)? Wie könnte der Anhalteweg verringert werden?  [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 1,5v steht für den Reaktionsweg, d.h. tR = 1,5 s $\frac{1}{2a_B} = 0,1$ <=> $\frac{1}{2a_B} = \frac{1}{10}$ <=> 2aB = 10 <=> aB = 5 (m/s2) s(20) = 0,1·202 + 1,5·20 = 40 + 30 = 70 (m) Bremsbeschleunigung erhöhen (besserer Fahrbahnbelag, gute Reifen), Reaktionszeit verringern (erhöhte Aufmerksamkeit, Bremsentechnik), Geschwindigkeit reduzieren

Aufgabe 6: Bestimme a und b Die Parabel hat die Funktionsgleichung f(x) = ax2 + bx. Finde heraus, welche Werte a und b besitzen und erkläre wie du vorgegangen bist. Hilfe: [Anzeigen][Verstecken] Lies die Koordinaten zweier Punkte aus dem Graphen ab und setze sie in die Funktionsgleichung ein.  [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Punkte (4/0) und (2/-2) liegen auf der Parabel, es gilt also 0 = a·42 + b·4 --> b = - 4a - 2 = a·22 + b·2 --> b = -1 - 2a daraus folgt -4a = -1 -2a --> a = 0,5 und b = - 2

Aufgabe 7: Term und Graph zuordnen

Ordne den Funktionsgraphen den richtigen Term zu.

x2 + 2x	0,5x2 + 2x	-x2 + 2x	0,5x2 - 2x	-x2 - 2x	x2 - 2x

Aufgabe 8

Kreuze jeweils alle richtigen Aussagen an.

f(x) = 2x2 - 4x (!Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (!Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [-1|6] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [-1|-2] liegt auf dem Graphen.) f(x) = - 0,25x2 + 3x (Die Parabel ist nach unten geöffnet.) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet.) (!Die Parabel ist enger als die Normalparabel.) (Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.) (Der Punkt [2|5] liegt auf dem Graphen.) (!Der Punkt [2|7] liegt auf dem Graphen.) Welche der Termpaare gehören zu Funktionen, deren Graphen bezüglich der y-Achse symmetrisch zueinander sind? (!7x2 und -7x2) (7x2 - 2x und 7x2 + 2x) (!7x2 - 2x und -7x2 + 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2) (-7x2 + 2x und -7x2 - 2x) (!7x2 - 2 und 7x2 + 2x)

Springbrunnen

Bei Wasserfontänen und Springbrunnen tritt der Wasserstrahl oftmals parabelförmig aus. Eine parabelförmige Wasserfontäne hat die Höhe 10m und die Weite 8m. Wie lautet die Gleichung dieser Wasserfontäne, wenn der Ursprung des Koordinatensystems a) in der Düsenöffnung b) in dem höchsten Punkt der Fontäne liegt. Gib jeweils auch die Scheitelkoordinaten der Parabel an. c) Wie lautet für Aufgabe a) die Scheitelform der Parabel? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a) $f(x) = -\frac{5}{8}x^2 + 5x$ b) $f(x) = -\frac{5}{8}x^2$ Scheitel zu a) S(4;10) zu b) S(0;0) c) $f(x) = -\frac{5}{8}(x - 4)^2 + 10$

Weitere Aufgaben

Bestimme die Gleichungen der abgebildeten Parabeln. Mache einen günstigen Ansatz für den Funktionsterm! Gib den Scheitel der Parabeln an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] f: S(0;3) $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 3$ g: S(-3;-2)Scheitelform: $g(x) = 2(x + 3)^2 - 2$ ; $g(x) = 2x^2 + 12x + 16$ h: S(3;-2) Scheitelform: $h(x) = 0,5(x - 3)^2 - 2$ ; $h(x) = 0,5x^2 - 3x + 2,5$ k: S(1;2) Scheitelform: $k(x) = (x - 1)^2 + 2$ ; $k(x) = x^2 -2x + 3$

a) Gib die Gleichung der Parabeln mit dem Scheitel S(1;2) an. b) Welche dieser Parabeln geht durch den Punkt P(2;0)?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a) $f(x) = ax^2 - 2a x + 4a + 2$ b) a = - 0,5

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Weiterführende Links

Übungen im Internet:

• Übungen zum Erkennen quadratischer Funktionen
• Quadratische Ergänzung üben
• Zeichne den Graphen
• Graphen zeichnen

• Videoanalyse: Geschwindigkeit und Bremswege von Wolfgang Riemer

• Funktionsterm bestimmen - Die Waldschlösschenbrücke Dresden von Heinz Lindner

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