Wurzelfunktion Übungen 2

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Bei den Übungen zur Wurzelfunktion lernst du weitere sich aus ihr ergebene Funktionen kennen.

Aufgabe 22

Zeichne den Graphen der Funktionen $f:x \rightarrow x^3$ im Intervall $\left[ 0, 2 \right]$ und $g:x \rightarrow \sqrt[3]{x}$ im Intervall $\left[ 0, 8\right]$
Beschreibe mit Worten die besondere Lage dieser beiden Graphen zueinander.

Aufgabe 23

Bestimme die natürliche Zahl n so, dass der Graph der Funktion der Funktion $f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ durch den Punkt
a) P(225; 5)
b) Q(243; 3)
c) R(0,5; 0,125) geht und gib die zugehörigen Funktionsgleichungen an.

Bearbeite von dieser Webseite die ersten 3 Aufgaben.

Aufgabe 24

Wann ist ein Sektglas halb voll?

Ein Sektglas ist kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,88 cm ist das Glas genau mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³)

1. Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe ist das Glas halb voll?
Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll.

Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe.

a) Gib eine Formel für das Volumen V mit Füllhöhe h an.

b) Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r.

c) Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an.

d) Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf.

e) Bestimme zu $V = \frac{1}{2}V_0$ die passende Höhe h.

2. Die Abhängigkeit der Füllhöhe vom Volumen kann man auch schreiben als $h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}}$ , wobei $V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H$ das Glasvolumen ist. Es ist $V_0=209,44cm^3$ . Es kommt im wesentlichen auf den Quotienten $\frac{V}{V_0}$ an, den wir mit $q = \frac{V}{V_0}$ bezeichnen.

a) Leite aus $V = \frac{1}{3}r^2 \pi h$ die Formel $h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}}$ her.

b) Gib für die Funktion $h: q \rightarrow h(q)$ die Funktionsgleichung, die Definitions- und die Wertemenge an.

Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten $q = \frac{V}{V_0}$ angegeben.

c) Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.

Aufgabe 25

Franziska und Max studieren Medizin im 1. Semester. In der Anfangsvorlesung lernen sie, dass das Flüssigkeitsvolumen $V$ , das bei konstantem Druck pro Zeiteinheit durch eine Röhre mit Radius $r$ fließt, proportional zur 4. Potenz des Radius ist. (Gesetz von Hagen-Poiseuille). Für die Medizinstudenten sind diese Röhren Adern im menschlichen Körper und die Flüssigkeit ist Blut.

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1. Stelle diesen Sachverhalt als Formel dar!

2. Löse diese Gleichung nach r auf und gib jene Funktionsgleichung an, die dem Volumen $V$ den entsprechenden Radius $r$ zuordnet!
Skizziere den typischen Verlauf des Funktionsgraphen!

3. Wie ändert sich das Blutvolumen, das durch eine Ader fließt, wenn sich der Gefäßradius um
a) 10%, 50%, 100% vergrößert? (Mehrdurchblutung bei Gefäßerweiterung)
b) 10%, 50%, 100% verringert? (Minderdurchblutung durch Gefäßverengung)

4. Um wieviel darf der Radius $r$ zunehmen, damit
a) 10%
b) 50% mehr Blut durch die Ader fließt?

5. Um wieviel darf der Radius $r$ abnehmen, damit noch
a) 90%
b) 50% Blut durch die Ader fließt?

Aufgabe 26

Die zwei österreichischen Physiker Josef Stefan und Ludwig Boltzmann fanden das nach ihnen benannte Strahlungsgesetz. Es besagt, dass die Strahlungsleistung P einer Lichtquelle proportional zur 4. Potenz der Temperatur T dieser Lichtquelle (T gemessen in der absoluten Kelvin-Temperatur) ist.

Dieser Sachverhalt wird durch die Formel $P = \sigma A T^4$ beschrieben.

In dieser Formel ist $\sigma$ die Stefan-Boltzmann-Konstante $\sigma = 5,67*10^{-8}$ mit der Einheit $\frac{W}{m^2K^4}$ .
$A$ ist die Oberfläche der Lichtquelle.

a) Löse die Gleichung nach T auf und gib jene Funktionsgleichung an, die der Strahlenleistung $P$ die Temperatur $T$ der Lichtquelle zuordnet!
Skizziere den typischen Verlauf des Funktionsgraphen!

b) Die Strahlungsleistung der Sonne beträgt $P = 3,84*10^{26}W$ .
Die Sonne kann annähernd als Kugel mit der Kugeloberfläche ist $A = 4 R_S^2\pi$ modelliert werden.
Der Sonnenradius $R_S$ ist circa das 109-fache des Erdradius (6370km).

Wie groß ist die Oberflächentemperatur in K (und in °C) auf der Sonne?
Zur Umrechnung der Kelvin-Temperatur in °C kannst du die Formel $T_C = T_K - 273,15$ verwenden.

Aufgabe 22 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Graphen von f und g sind symmetrisch zur Gerade y = x ( 1. Mediane).

Aufgabe 23 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) n = 4 und $f(x) = \sqrt[4]{x}$
b) n = 5 und $f(x) = \sqrt[5]{x}$

c) n = 3 und $f(x) = \sqrt[3]{x}$

Aufgabe 24 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1a) $V = \frac{1}{3}r^2\pi h$

1b) $\frac{h}{H}=\frac{r}{R}$

1c) Mit $r = \frac{hR}{H}$ ergibt sich $V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3} \frac{R^2}{H^2}\pi h^3$

1d) $h = \sqrt[3]{\frac{3VH^2}{R^2 \pi}}$

1e) $h = 6,25 cm$

Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.

2a) $V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}\frac{R^2}{H^2}\pi h^3 = \frac{1}{3}R^2\pi H \frac{h^3}{H^3}=V_0 (\frac{h}{H})^3$ , wobei $V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H$ das Glasvolumen ist.
Nach h auflösen: $h =H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}}$

2b) $h(q) = 8 \sqrt[3]{q}$ ; $D=[0;1]$ und $W = [0;8]$

2c) 5,0 cm; 5,9 cm; 7,3 cm

Aufgabe 25 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. $V = r^4 c$ wobei $c$ eine Konstante ist.
2. $r = \sqrt[4]{\frac{V}{c}}$
3. a) Vermehrung um 46%; 506%, 1600%
b) Verminderung um 35%, 93,75%, 100%
4. a) 2,4%
b) 11%
5. a) 2,6%
b) 16%