Wurzelfunktion Umkehrfunktion

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Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt $A = a^2$.

Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite $a$? Natürlich 3 LE.

Es gilt also: $a = sqrt A$

Ausgangspunkt war die Gleichung $A = a^2$.
Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach $a$ aufgelöst.

Merke Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl $x$ ihr Quadrat $x^2$ zu, so erhält man die Quadratfunktion $f: x \rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$. Wird umgekehrt jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zugeordnet, so ist die Zuordnung $g: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion. Die Funktion $g$ wird Umkehrfunktion der Funktion $f$ genannt. Und anstelle von $g$ wird auch $f^{-1}$ geschrieben. Die Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion $f: x \rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$.

Aufgabe 26  In diesem Bild sind die Graphen der Funktionen $f: x \rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ und $g: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ dargestellt. Was fällt dir auf?

Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen $f^{-1}$ und ihre Funktion $f$ symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.
Dieser Zusammenhang wird durch das Arbeitsblatt verdeutlicht!

Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.
Gehe zum Beispiel von der Funktiongleichung $y = 2x + 4$ aus.
Vertausche in dieser Gleichung $x$ und $y$: $x = 2y + 4$

Das Umformen dieser Gleichung nach $y$ ergibt die Umkehrfunktion: $y = \frac{x-4}{2}$ also ist $y = \frac{x}{2} - 2$.

Dieses Verfahren zur Ermittlung der Umkehrfunktion kannst du auch auf Potenz- und Wurzelfunktionen anwenden.

Aufgabe 27  Ermittle graphisch rechnerisch die Umkehrfunktionen zu $f:x\rightarrow \sqrt{3x}$ und $g: x\rightarrow x^2 + 3$

Merke Für jede natürliche Zahl $n$ ist die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ mit $x \in R^+_0$ umkehrbar. Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$. Sie heißt n-te Wurzelfunktion. Die n-te Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ kannst du auch als Potenzfunktion betrachten, deren Exponent ein Stammbruch ist. Dann gilt: $f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}}$ mit $x \in R^+_0$ und $n \in N$.

Aufgabe 26: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Graphen von f und g sind symmetrisch zur Gerade y = x (1. Mediane).

Aufgabe 27: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Spiegeln an der Geraden $y = x$
2. $f:x\rightarrow \sqrt{3x}$:
   

In der Gleichung $y = \sqrt{3x}$ x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält $x = \sqrt{3y}$ und dann $y = \frac{x^2}{3}$.
Die Umkehrfunktion lautet $f^{-1}: x \rightarrow \frac{x^2}{3}$.

Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist $D = R^+_0$.

$g: x\rightarrow x^2 + 3$:

Zuerst muss man die Definitionsmenge von $g$ auf $R^+_0$ einschränken.

In der Gleichung $y = x^2 + 3$ x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält $x = y^2 + 3$ und dann $y = \sqrt{x-3}$.
Die Umkehrfunktion lautet $g^{-1}: x \rightarrow \sqrt{x-3}$.

Die Defintionsmenge der Umkehrfunktion ist $D = R^+_0$.

Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für $x \in R$ definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für $x \in R^-$ umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seiten:

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion