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Aufgabe xy  Wann ist ein Sektglas halb voll? Ein Sektglas ist oben kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 2,5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,639 cm ist das Glas mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³) Nun interessiert die Frage, wann ist das Glas halb voll? Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll. Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe. 1. Gib eine Formel für das Volumen mit Füllhöhe h an. 2. Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r. 3. Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an. 4. Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf. 5. Bestimme zu $V = \frac{1}{2}V_0$ die passende Höhe h.

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1. $V = \frac{1}{3}r^2\pi h$

2. $\frac{h}{H}=\frac{r}{R}$

3. Mit $r = \frac{hR}{H}$ ergibt sich $V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3} \frac{R^2}{H^2}\pi h^3 = \frac{1}{3}R^2\pi H \frac{h^3}{H^3}=V_0 (\frac{h}{H})^3$, wobei $V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H$ das Glasvolumen ist.

4.

oder 

5. $h = H \sqrt[3]{\frac{1}{2}}=0,7937H\approx 0,8H = 6,4 cm$

Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.

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2

sin [x]$\cos[x+\frac{\pi}{4}]$$-\cos [\frac{x}{2}]$$2 \cdot \sin [x]$$-0,5 \cdot \sin [2x]$cos [x]

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Memory

$\sin x$ $\cos x$ $-\cos \frac{x}{2}$ $2 \cdot\sin x$ $\cos(x+\frac{\pi}{4})$ $-0,5 \cdot \sin (2x)$