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Aufgabe xy  Wann ist ein Sektglas halb voll? Ein Sektglas ist oben kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 2,5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,639 cm ist das Glas mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³) Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe der Sektoberfläche ist das Glas halb voll? Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll. Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe. 1. Gib eine Formel für das Volumen mit Füllhöhe h an. 2. Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r. 3. Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an. 4. Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf. 5. Bestimme zu $V = \frac{1}{2}V_0$ die passende Höhe h. Die Abhängigkeit der Füllhöhe vom Volumen kann man auch schreiben als , wobei $V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H$ das Glasvolumen ist. Es kommt im wesentlichen auf den Quotienten $\frac{V}{V_0}$, den wir mit $q = \frac{V}{V_0}$ bezeichnen. 6. Leite aus $V = \frac{1}{3}r^2 \pi h$ die Formel her. Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten $q = \frac{V}{V_0}$ angegeben. 7. Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.

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1. $V = \frac{1}{3}r^2\pi h$

2. $\frac{h}{H}=\frac{r}{R}$

3. Mit $r = \frac{hR}{H}$ ergibt sich $V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3} \frac{R^2}{H^2}\pi h^3$

4.

5. $h = H \sqrt[3]{\frac{1}{2}}=0,7937H\approx 0,8H = 6,4 cm$

Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.

6. $V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}\frac{R^2}{H^2}\pi h^3 = \frac{1}{3}R^2\pi H \frac{h^3}{H^3}=V_0 (\frac{h}{H})^3$, wobei $V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H$ das Glasvolumen ist.
Nach h auflösen: $h =H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}}$

7. 5,0 cm; 5,9 cm; 7,3 cm

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2

$-0,5 \cdot \sin [2x]$$2 \cdot \sin [x]$sin [x]$\cos[x+\frac{\pi}{4}]$cos [x]$-\cos [\frac{x}{2}]$

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4

Memory

$\cos(x+\frac{\pi}{4})$ $\cos x$ $-\cos \frac{x}{2}$ $2 \cdot\sin x$ $\sin x$ $-0,5 \cdot \sin (2x)$