Wurzelfunktion Übungen 2

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Bei den Übungen zur Wurzelfunktion lernst du weitere sich aus ihr ergebene Funktionen kennen.

Aufgabe 22  Zeichne den Graphen der Funktionen $f:x \rightarrow x^3$ im Intervall $\left[ 0, 2 \right]$ und im Intervall $\left[ 0, 8\right]$ Beschreibe mit Worten die besondere Lage dieser beiden Graphen zueinander.

Aufgabe 23  Bestimme die natürliche Zahl n so, dass der Graph der Funktion der Funktion $f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ durch den Punkt a) P(225; 5) b) Q(243; 3) c) R(0,5; 0,125) geht und gib die zugehörigen Funktionsgleichungen an. Bearbeite von dieser Webseite die ersten 3 Aufgaben.

Aufgabe 24  Wann ist ein Sektglas halb voll? Ein Sektglas ist kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,88 cm ist das Glas genau mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³) 1. Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe ist das Glas halb voll? Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll. Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe. a) Gib eine Formel für das Volumen V mit Füllhöhe h an. b) Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r. c) Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an. d) Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf. e) Bestimme zu $V = \frac{1}{2}V_0$ die passende Höhe h. 2. Die Abhängigkeit der Füllhöhe vom Volumen kann man auch schreiben als , wobei $V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H$ das Glasvolumen ist. Es ist $V_0=209,44cm^3$. Es kommt im wesentlichen auf den Quotienten $\frac{V}{V_0}$ an, den wir mit $q = \frac{V}{V_0}$ bezeichnen. a) Leite aus $V = \frac{1}{3}r^2 \pi h$ die Formel her. b) Gib für die Funktion $h: q \rightarrow h(q)$ die Funktionsgleichung, die Definitions- und die Wertemenge an. Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten $q = \frac{V}{V_0}$ angegeben. c) Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.

Aufgabe 25  Franziska und Max studieren Medizin im 1. Semester. In der Anfangsvorlesung lernen sie, dass das Flüssigkeitsvolumen $V$, das bei konstantem Druck pro Zeiteinheit durch eine Röhre mit Radius $r$ fließt, proportional zur 4. Potenz des Radius ist. (Gesetz von Hagen-Poiseuille). Für die Medizinstudenten sind diese Röhren Adern im menschlichen Körper und die Flüssigkeit ist Blut. Dieses Video hat keinen Ton! 1. Stelle diesen Sachverhalt als Formel dar! 2. Löse diese Gleichung nach r auf und gib jene Funktionsgleichung an, die dem Volumen $V$ den entsprechenden Radius $r$ zuordnet! Skizziere den typischen Verlauf des Funktionsgraphen! 3. Wie ändert sich das Blutvolumen, das durch eine Ader fließt, wenn sich der Gefäßradius um a) 10%, 50%, 100% vergrößert? (Mehrdurchblutung bei Gefäßerweiterung) b) 10%, 50%, 100% verringert? (Minderdurchblutung durch Gefäßverengung) 4. Um wieviel darf der Radius $r$ zunehmen, damit a) 10% b) 50% mehr Blut durch die Ader fließt? 5. Um wieviel darf der Radius $r$ abnehmen, damit noch a) 90% b) 50% Blut durch die Ader fließt?

Aufgabe 26  Die zwei österreichischen Physiker Josef Stefan und Ludwig Boltzmann fanden das nach ihnen benannte Strahlungsgesetz. Es besagt, dass die Strahlungsleistung P einer Lichtquelle proportional zur 4. Potenz der Temperatur T dieser Lichtquelle (T gemessen in der absoluten Kelvin-Temperatur) ist. Dieser Sachverhalt wird durch die Formel $P = \sigma A T^4$ beschrieben. In dieser Formel ist $\sigma$ die Stefan-Boltzmann-Konstante $\sigma = 5,67*10^{-8}$ mit der Einheit $\frac{W}{m^2K^4}$. $A$ ist die Oberfläche der Lichtquelle. a) Löse die Gleichung nach T auf und gib jene Funktionsgleichung an, die der Strahlenleistung $P$ die Temperatur $T$ der Lichtquelle zuordnet! Skizziere den typischen Verlauf des Funktionsgraphen! b) Die Strahlungsleistung der Sonne beträgt $P = 3,84*10^{26}W$. Die Sonne kann annähernd als Kugel mit der Kugeloberfläche ist $A = 4 R_S^2\pi$ modelliert werden. Der Sonnenradius $R_S$ ist circa das 109-fache des Erdradius (6370km). Wie groß ist die Oberflächentemperatur in K (und in °C) auf der Sonne? Zur Umrechnung der Kelvin-Temperatur in °C kannst du die Formel $T_C = T_K - 273,15$ verwenden.

Aufgabe 22 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Graphen von f und g sind symmetrisch zur Gerade y = x ( 1. Mediane).

Aufgabe 23 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) n = 4 und
b) n = 5 und
c) n = 3 und

Aufgabe 24 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1a) $V = \frac{1}{3}r^2\pi h$

1b) $\frac{h}{H}=\frac{r}{R}$

1c) Mit $r = \frac{hR}{H}$ ergibt sich $V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3} \frac{R^2}{H^2}\pi h^3$

1d)

1e) $h = 6,25 cm$

Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.

2a) $V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}\frac{R^2}{H^2}\pi h^3 = \frac{1}{3}R^2\pi H \frac{h^3}{H^3}=V_0 (\frac{h}{H})^3$, wobei $V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H$ das Glasvolumen ist.
Nach h auflösen: $h =H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}}$

2b) $h(q) = 8 \sqrt[3]{q}$; $D=[0;1]$ und $W = [0;8]$

2c) 5,0 cm; 5,9 cm; 7,3 cm

Aufgabe 25 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. $V = r^4 c$ wobei $c$ eine Konstante ist.
2.
3. a) Vermehrung um 46%; 506%, 1600%
b) Verminderung um 35%, 93,75%, 100%
4. a) 2,4%
b) 11%
5. a) 2,6%
b) 16%

Aufgabe 26 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $T = \sqrt[4]{\frac{P}{A\sigma}}$

b) $5782 K$ bzw. $5509^oC$

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