Der Funktionsbegriff

In den bisherigen Aufgaben ist es darum gegangen, Abhängigkeiten

• durch eine Formel auszudrücken und
• in Tabellenform wiederzugeben

Was haben das Handybeispiel und das Schachtelbeispiel gemeinsam? In beiden Fällen haben wir Vorschriften betrachtet, die es gestatten,

einem gegebenen Objekt (z.B. die Länge der Quadratseite x)

ein anderes davon abhängiges Objekt (z.B. das Schachtelvolumen V(x)) 

zuzuordnen. Diese Idee der Zuordnung ist in der Mathematik sehr wichtig. Dabei können wir an ganz unterschiedliche Objekte (wie beispielsweise natürliche Zahlen oder reelle Zahlen) denken.

Wir wollen nun etwas genauer formulieren, wie die Idee der Zuordnung für die Mathematik nutzbar gemacht werden kann. Dazu müssen wir - wie es dem Genauigkeitsanspruch der Mathematik entspricht - für jede konkrete Zuordnung festlegen, um welche Objekte es sich dabei handelt. Wir fassen alle möglichen "gegebenen Objekte" in einer Menge A zusammen und stellen uns vor, dass alle möglichen "abhängigen Objekte" in einer Menge B liegen. So gelangen wir zur Definition des Funktionsbegriffs, wie er in der Mathematik seit mehr als 100 Jahren verwendet wird:

Merke Definition: Seien A und B zwei Mengen. Eine Funktion von A nach B ist eine Vorschrift, die jedem Element der Menge A ein (d.h. genau ein) Element der Menge B zuweist.