Wurzelfunktion Einführung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. April 2017, 08:16 Uhr

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Mit den nachfolgenden Übungen kannst du dein Vorwissen zum Rechnen mit Potenzen und Wurzeln aktivieren!
Potenzen anwenden
Potenz und Wurzeln
Potenzen mit rationalen Exponenten

Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt eines Quadrats und seiner Seitenlänge.
Ein Quadrat mit Seitenlänge $a$ hat den Flächeninhalt $A = a^2$ .

Ist die Seitenlänge $a= 3 cm$ , dann ist also der Flächeninhalt $A= 9 cm^2$ .
Umgekehrt ist dann für ein Quadrat mit Flächeninhalt $A= 9 cm^2$ die zugehörige Seitenlänge $a= 3 cm$ .

Aufgabe 1

Im folgenden Applet wird der Seitenlänge $a$ eines Quadrats der Flächeninhalt $A$ zugeordnet.
Der Punkt P hat die Koordinaten ( $a| A$ ). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für $a$ einstellen.

a) Welcher Flächeninhalt $A$ ergibt sich für $a$ = 1; 1,5; 2 und 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!
b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge $a$ den Flächeninhalt $A$ eines Quadrats zuordnet!
c) Welchen Wert nimmt $A$ für $a$ = 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!
d) Stelle mit dem Schieberegler für den Flächeninhalt $A$ die Werte 1,44; 1,96; 2,25; und 7,29 ein. Lies die zugehörigen Seitenlängen $a$ im Applet ab und ergänze deine Tabelle!

Wie kannst du die Seitenlänge eines Quadrats bei gegebenem Flächeninhalt berechnen?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$a = \sqrt A$

Aufgabe 2

a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für A ein und berechne a! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!

b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem ( $A$ entspricht der x-Achse, $a$ entspricht der y-Achse) dar!

In der vorherigen Aufgabe hast du einigen Flächeninhalten exemplarisch ihre Seitenlänge zugeordnet. Mit dem folgenden Applet kannst du diesen Zusammenhang verallgemeinern.

Aufgabe 3

a) Verändere mit dem Schieberegler den Wert von $A$ ! Wird jedem Wert $A$ ein Wert $a$ zugeordnet?
b) Welche Bedeutung haben die Koordinaten des Punktes P?
c) Was stellt die Spur des Punktes P dar?

Merke

Die Funktion $f$ , die jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel $\sqrt x$ zuordnet heißt Quadratwurzelfunktion oder einfach nur Wurzelfunktion.

$f: x \rightarrow \sqrt x$

Ihr Graph schaut so aus:

Aufgabe 4

Gib für die Quadratwurzelfunktion Definitions- und Wertemenge an.

Aufgabe 1 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) 1; 2,25; 4; 6,25; 9
b) A(a) = a²
c) 25; 100, 225

d) 1,2; 1,4; 1,5; 2,7

Aufgabe 2 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a)

b)

Aufgabe 3 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Ja! Jedem Wert $A$ wird genau ein Wert $a$ zugeordnet.
b) Die x-Koordinate des Punktes P ist die Größe A des Flächeninhalts, die y-Koordinate die Länge a der Seite des Quadrats.
c) Die Spur stellt den Graphen der Funktion a mit der Funktionsgleichung $a = sqrt A$ dar.

Aufgabe 4 [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$D = R^+_0, W = R^+_0$

Die Wurzelfunktion hast du nun kennengelernt. Als nächstes kannst du zu Übungen oder Anwendungen oder Weitere Eigenschaften gehen.

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-Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt <math> A = a^2</math>.<br>
+[[Wurzelfunktion_Startseite|Startseite]] --- [[Wurzelfunktion_Einführung|Die Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_1|Übungen]] - [[Wurzelfunktion_Anwendungen|Anwendungen]] - [[Wurzelfunktionen_Eigenschaften|Weitere Eigenschaften]] --- [[Wurzelfunktion_allgemeine_Wurzelfunktion|Die allgemeine Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen und Anwendungen]] --- [[Wurzelfunktion_Umkehrfunktion|Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion]]
-Man weiß von einem Quadrat, dass es den Flächeninhalt 9 FE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.<br>
+__NOCACHE__
-Es ist <math> a = sqrt(A)</math>
+----
-{{Aufgabe|Setze verschiedene Werte für A ein, und berechnen welcher Wert
+{| width="99%"
-sich für a ergibt. Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein:}}
+ | style="vertical-align:top" |
+<!-- linke Spalte: Zwei div-Container -->
+<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #dfdfdf; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#ffefd5; align:left;">
+Mit den nachfolgenden Übungen kannst du dein Vorwissen zum Rechnen mit Potenzen und Wurzeln aktivieren!<br>
+[http://www.realmath.de/Neues/Klasse7/potenzen/potenzanwenden.html Potenzen anwenden]<br>
+[http://www.mathe-online.at/tests/pot/potenzenWurzeln.html Potenz und Wurzeln]<br>
+[http://www.mathe-online.at/tests/pot/rationaleExponenten.html Potenzen mit rationalen Exponenten]
+</div>
+[[Bild:E Quadrat1.jpg‎|right|200px]]
+Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt eines Quadrats und seiner Seitenlänge. <br>Ein Quadrat mit Seitenlänge <math>a</math> hat den Flächeninhalt <math> A = a^2</math>.<br><br>
+Ist die Seitenlänge <math>a= 3 cm</math>, dann ist also der Flächeninhalt <math> A= 9 cm^2</math>. <br>Umgekehrt ist dann für ein Quadrat mit Flächeninhalt <math> A= 9 cm^2</math> die zugehörige Seitenlänge <math>a= 3 cm</math>.<br>
+{{Arbeiten|NUMMER=1| ARBEIT=
+Im folgenden Applet wird der Seitenlänge <math>a</math> eines Quadrats der Flächeninhalt <math>A</math> zugeordnet. <br>Der Punkt P hat die Koordinaten (<math>a| A</math>). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für <math>a</math> einstellen.
+<center><ggb_applet width="444" height="532"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /></center>
+a) Welcher Flächeninhalt <math>A</math> ergibt sich für <math>a</math> = 1; 1,5; 2 und 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!<br>
+b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge <math>a</math> den Flächeninhalt <math>A</math> eines Quadrats zuordnet!<br>
+c) Welchen Wert nimmt <math>A</math> für <math>a</math> = 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!<br>
+d) Stelle mit dem Schieberegler für den Flächeninhalt <math>A</math> die Werte 1,44; 1,96; 2,25; und 7,29 ein. Lies die zugehörigen Seitenlängen <math>a</math> im Applet ab und ergänze deine Tabelle!
+}}
+Wie kannst du die Seitenlänge eines Quadrats bei gegebenem Flächeninhalt berechnen?<br>
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+a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für A ein und berechne a! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
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+<br>
+In der vorherigen Aufgabe hast du einigen Flächeninhalten exemplarisch ihre Seitenlänge zugeordnet. Mit dem folgenden Applet kannst du diesen Zusammenhang verallgemeinern.
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+{{Arbeiten|NUMMER=3| ARBEIT=
+a) Verändere mit dem Schieberegler den Wert von <math>A</math>! Wird jedem Wert <math>A</math> ein Wert <math>a</math> zugeordnet?<br>
+b) Welche Bedeutung haben die Koordinaten des Punktes P?<br>
+c) Was stellt die Spur des Punktes P dar?}}
+{{Merke|
+Die Funktion <math>f</math>, die jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel <math> \sqrt x</math> zuordnet heißt '''Quadratwurzelfunktion''' oder einfach nur '''Wurzelfunktion'''.<br>
+<center><math> f: x  \rightarrow \sqrt x </math><br></center>
+Ihr Graph schaut so aus:<br>
+<center>[[Bild:Graph_quadratwurzelfunktion.jpg‎]]</center>
+}}
+{{Arbeiten|NUMMER=4| ARBEIT=
+Gib für die Quadratwurzelfunktion Definitions- und Wertemenge an.<br>
+}}
+Aufgabe 1
+{{Lösung versteckt|1=
+a) 1; 2,25; 4; 6,25; 9<br>
+b) A(a) = a<sup>2</sup><br>
+c) 25; 100, 225<br>
+d) 1,2; 1,4; 1,5; 2,7
+}}
+Aufgabe 2 {{Lösung versteckt|
+Dein Ergebnis kann so aussehen.<br>
+a) [[Bild:Seitenlänge_in_Abhängigkeit_von_A.jpg‎]]<br>
+b) [[Bild:Grafik_Seitenlänge_-_A.jpg‎ ]] }}
+Aufgabe 3 {{Lösung versteckt|
+a) Ja! Jedem Wert <math> A </math> wird genau ein Wert <math>a</math> zugeordnet.<br>
+b) Die x-Koordinate des Punktes P ist die Größe A des Flächeninhalts, die y-Koordinate die Länge a der Seite des Quadrats.<br>
+c) Die Spur stellt den Graphen der Funktion a mit der Funktionsgleichung <math> a = sqrt A</math> dar.
+}}
+Aufgabe 4 {{Lösung versteckt|<math>D = R^+_0, W = R^+_0</math>}}
+----
+Die Wurzelfunktion hast du nun kennengelernt. Als nächstes kannst du zu [[Wurzelfunktionen_Übungen_1|Übungen]] oder [[Wurzelfunktion_Anwendungen|Anwendungen]] oder [[Wurzelfunktionen_Eigenschaften|Weitere Eigenschaften]] gehen.

Wurzelfunktion Einführung: Unterschied zwischen den Versionen

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