Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Wurzelfunktionen|Startseite]] --- [[Wurzelfunktion_Einführung|Die Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_1|Übungen]] - [[Wurzelfunktion_Anwendungen|Anwendungen]] --- [[Wurzelfunktion_allgemeine_Wurzelfunktion|Die allgemeine Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen und Anwendungen]] --- [[Wurzelfunktion_Umkehrfunktion|Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion]]
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[[Wurzelfunktion_Startseite|Startseite]] --- [[Wurzelfunktion_Einführung|Die Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_1|Übungen]] - [[Wurzelfunktion_Anwendungen|Anwendungen]] - [[Wurzelfunktionen_Eigenschaften|Weitere Eigenschaften]] --- [[Wurzelfunktion_allgemeine_Wurzelfunktion|Die allgemeine Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen und Anwendungen]] --- [[Wurzelfunktion_Umkehrfunktion|Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion]]
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{{Arbeiten|NUMMER=15| ARBEIT=
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{{Arbeiten|NUMMER=18| ARBEIT=
 
Im folgenden Applet wird der Seitenlänge <math>a</math> eines Würfels das Volumen <math>V</math> zugeordnet. <br>Der Punkt P hat die Koordinaten (<math>a| V</math>). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für <math>a</math> einstellen.
 
Im folgenden Applet wird der Seitenlänge <math>a</math> eines Würfels das Volumen <math>V</math> zugeordnet. <br>Der Punkt P hat die Koordinaten (<math>a| V</math>). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für <math>a</math> einstellen.
 
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d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen <math>V</math> die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen <math>a</math> im Applet ab und ergänze deine Tabelle!
 
d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen <math>V</math> die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen <math>a</math> im Applet ab und ergänze deine Tabelle!
  
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{{Lösung versteckt|
 
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a) 1, 3,375; 8; 15,625<br>
 
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b) <math>V = a^3</math>
 
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c) 27; 125; 1000; 3375<br>
 
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c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6
 
 
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<math> a = V^{\frac{1}{3}}</math>
 
<math> a = V^{\frac{1}{3}}</math>
  
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<math> a = \sqrt[3]{V}\</math><br>
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{{Merke|  
 
{{Merke|  
 
Die Gleichung <math> a = x^n</math> hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl a als Lösung<br>
 
Die Gleichung <math> a = x^n</math> hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl a als Lösung<br>
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<center> <math> x = a^{\frac{1}{n}}</math> oder <math> x = \sqrt[n]{a}\</math></center>
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<math> \sqrt[n]{a}\</math> heißt die''' n-te Wurzel aus a'''.
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<math> \sqrt[n]{a}</math> heißt die''' n-te Wurzel aus a'''.
 
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{{Arbeiten|NUMMER=16| ARBEIT=
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{{Arbeiten|NUMMER=19| ARBEIT=
 
a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte
 
a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte
 
sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
 
sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
 
<br>b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar (<math>V</math> entspricht der x-Achse, <math>a</math> entspricht der y-Achse)!}}
 
<br>b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar (<math>V</math> entspricht der x-Achse, <math>a</math> entspricht der y-Achse)!}}
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{{Lösung versteckt|
 
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Dein Ergebnis kann so aussehen.<br>
 
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a) [[Datei:Wuerfel_V-a-Tabelle.jpg]]<br>
 
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b) [[Datei:Wuerfel_V-a-graph.jpg]]<br>
 
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Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:
 
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[[Datei:Wuerfel_V-a-graph_2.jpg]] }}
 
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Allgemein ist für jede natürliche Zahl <math>n</math> die allgemeine Wurzelfunktion <math>n</math>-ten Grades oder <math>n</math>-te Wurzelfunktion definiert mit
 
Allgemein ist für jede natürliche Zahl <math>n</math> die allgemeine Wurzelfunktion <math>n</math>-ten Grades oder <math>n</math>-te Wurzelfunktion definiert mit
 
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<math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math>n \in N</math>.
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<math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math>n \in N</math>.
 
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{{Arbeiten|NUMMER=16|  
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{{Arbeiten|NUMMER=20|  
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ARBEIT= Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktionsgleichung an!}}
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ARBEIT= Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion mit Definitionsmenge an!}}
  
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{{Lösung versteckt|
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<math>f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}</math> mit <math>V \in R^+_0</math>
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{{Arbeiten|NUMMER=21|
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ARBEIT=
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# Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion <math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math>
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# Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?
 
}}
 
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{{Arbeiten|NUMMER=17|
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Aufgabe 18: {{Lösung versteckt|
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ARBEIT=
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a) 1, 3,375; 8; 15,625<br>
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# Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion <math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\</math>
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b) <math>V = a^3</math><br>
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# Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?
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c) 27; 125; 1000; 3375<br>
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c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6
 
}}
 
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{{Lösung versteckt|
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Aufgabe 19: {{Lösung versteckt|
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Dein Ergebnis kann so aussehen.<br>
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a) [[Datei:Wuerfel_V-a-Tabelle.jpg]]<br>
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b) [[Datei:Wuerfel_V-a-graph.jpg]]<br>
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Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:
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[[Datei:Wuerfel_V-a-graph_2.jpg]] }}
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Aufgabe 20: {{Lösung versteckt|
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<math>f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}</math> mit <math>D = R^+_0</math>}}
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Aufgabe 21: {{Lösung versteckt|
 
1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.
 
1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.
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Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Als nächstes kannst du wählen, ob du [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen]] oder [[Wurzelfunktion_Anwendungen_2|Anwendungen]] machen willst.
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Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Es geht weiter mit [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen und Anwendungen]].

Aktuelle Version vom 16. April 2017, 10:31 Uhr

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Wuerfel.jpg

Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.

Ein Würfel mit der Seitenlänge a hat das Volumen V = a^3.

Ist die Seitenlänge a = 3 cm, dann ist also das Volumen V = 27 cm^3.
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen V= 27 cm^3 die zugehörige Seitenlänge a= 3 cm.



  Aufgabe 18  Stift.gif

Im folgenden Applet wird der Seitenlänge a eines Würfels das Volumen V zugeordnet.
Der Punkt P hat die Koordinaten (a| V). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für a einstellen.


a) Welches Volumen V ergibt sich für a = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!
b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge a das Volumen V eines Würfels zuordnet!
c) Welchen Wert nimmt V für a = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!
d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen V die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen a im Applet ab und ergänze deine Tabelle!


Wie kannst du die Seitenlänge a bei gegebenem Volumen V berechnen?

a = V^{\frac{1}{3}}

a = \sqrt[3]{V}


Nuvola apps kig.png   Merke

Die Gleichung a = x^n hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl a als Lösung

x = a^{\frac{1}{n}} oder x = \sqrt[n]{a}

\sqrt[n]{a} heißt die n-te Wurzel aus a.


  Aufgabe 19  Stift.gif

a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar (V entspricht der x-Achse, a entspricht der y-Achse)!


Nuvola apps kig.png   Merke

Allgemein ist für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion definiert mit
f: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit x \in R^+_0 und n \in N.


  Aufgabe 20  Stift.gif

Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion mit Definitionsmenge an!


  Aufgabe 21  Stift.gif
  1. Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}
  2. Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?



Aufgabe 18:

a) 1, 3,375; 8; 15,625
b) V = a^3
c) 27; 125; 1000; 3375
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6

Aufgabe 19:

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a) Wuerfel V-a-Tabelle.jpg
b) Wuerfel V-a-graph.jpg
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Wuerfel V-a-graph 2.jpg

Aufgabe 20:

f:V \rightarrow \sqrt[3]{V} mit D = R^+_0

Aufgabe 21:

1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.



2. (0;0 und (1;1)

Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Es geht weiter mit Übungen und Anwendungen.

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