Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. April 2012, 15:31 Uhr

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Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.

Ein Würfel mit der Seitenlänge $a$ hat das Volumen $V = a^3$ .

Ist die Seitenlänge $a = 3 cm$ , dann ist also das Volumen $V = 27 cm^3$ .
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen $V= 27 cm^3$ die zugehörige Seitenlänge $a= 3 cm$ .

Aufgabe 15

Im folgenden Applet wird der Seitenlänge $a$ eines Würfels das Volumen $V$ zugeordnet.
Der Punkt P hat die Koordinaten ( $a| V$ ). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für $a$ einstellen.

a) Welches Volumen $V$ ergibt sich für $a$ = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!
b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge $a$ das Volumen $V$ eines Würfels zuordnet!
c) Welchen Wert nimmt $V$ für $a$ = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!
d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen $V$ die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen $a$ im Applet ab und ergänze deine Tabelle!

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Wie kannst du die Seitenlänge $a$ bei gegebenem Volumen $V$ berechnen?
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Merke

Die Gleichung $a = x^n$ hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl a als Lösung

$x = a^{\frac{1}{n}}$ oder Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): x = \sqrt[n]{a}\

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \sqrt[n]{a}\

heißt die n-te Wurzel aus a.

Aufgabe 16

a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar ( $V$ entspricht der x-Achse, $a$ entspricht der y-Achse)!

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Merke

Allgemein ist für jede natürliche Zahl $n$ die allgemeine Wurzelfunktion $n$ -ten Grades oder $n$ -te Wurzelfunktion definiert mit
Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\

mit  und .

Aufgabe 16

Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktionsgleichung an!

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Aufgabe 17

Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\

Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?

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Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Als nächstes kannst du wählen, ob du Übungen oder Anwendungen machen willst.

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 {{Merke|
-Die Gleichung <math> a = x^n</math> hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung<br>
+Die Gleichung <math> a = x^n</math> hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl a als Lösung<br>
 <center> <math> x = a^{\frac{1}{n}}</math> oder <math> x = \sqrt[n]{a}\</math></center>

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