Wurzelfunktion Übungen 1: Unterschied zwischen den Versionen

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Neben der Quadratwurzelfunktion treten auch Funktionsterme der Art <br>
 
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:::<math> a \sqrt x</math>,<br>
 
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auf. Diese wirst du nun mit der Methode "Gruppenpuzzle" untersuchen. <br>
 
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Du betrachstest die Funktion <math>f: x \rightarrow \sqrt{ax + b} </math>. Im folgenden Applet kannst du mit den Schiebereglern die Werte für <math>a</math> und <math>b</math> verändern. <br>Anfangs ist <math>a = 1</math> und <math>b = 0</math>. Es ist der Graph der Quadratwurzelfunktion dargestellt.
 
Du betrachstest die Funktion <math>f: x \rightarrow \sqrt{ax + b} </math>. Im folgenden Applet kannst du mit den Schiebereglern die Werte für <math>a</math> und <math>b</math> verändern. <br>Anfangs ist <math>a = 1</math> und <math>b = 0</math>. Es ist der Graph der Quadratwurzelfunktion dargestellt.
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:1. Was passiert, wenn du den Wert von <math>b</math> änderst? Unterscheide <math> b > 0 </math> und <math> b < 0</math>. Gib die Nullstellen an! <br>Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion.
 
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:2. Stelle wieder <math> b = 0</math> ein. Variiere nun <math>a</math>. Was stellst du fest? Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion.
 
  
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1. Für <math> b > 0 </math> wird der Graph der Wurzelfunktion entlang der x-Achse nach links verschoben.<br>
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Die Nullstelle tritt bei <math> x = -b</math> auf. <br>
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<math>D = [-b;\infty[ </math>, Wertemenge: <math>R^+_0</math>
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<br>Ist <math> a < 0</math> so wird der Graph mit <math>|a|</math> an der y-Achse gespiegelt.
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1. Was passiert, wenn du den Wert von <math>b</math> änderst? Unterscheide <math> b > 0 </math> und <math> b < 0</math>. Gib die Nullstellen an! <br>
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Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion.
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2. Stelle wieder <math> b = 0</math> ein. Variiere nun <math>a</math>. Was stellst du fest? Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion.
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3. Variiere nun a und b gleichzeitig und beachte was passiert.
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Aufgabe 8:  
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1. Für <math> b > 0 </math> wird der Graph der Wurzelfunktion entlang der x-Achse nach links verschoben.<br>
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Für <math> b < 0</math> wird der Graph der Wurzelfunktion entlang der x-Achse nach rechts verschoben.<br>
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Die Nullstelle tritt bei <math> x = -b</math> auf. <br>
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<math>D = [-b;\infty[ </math>, Wertemenge: <math>R^+_0</math>
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2. Für <math> 0 < a < 1</math> wird der Graph der Wurzelfunktion in y-Richtung gestaucht.
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<br>Für <math> a > 1</math> wird der Graph in y-Richtung gestreckt.
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<br>Ist <math> a < 0</math> so wird der Graph mit <math>|a|</math> an der y-Achse gespiegelt.
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<br>Für a > 0 ist <math>D = R^+_0</math>, für a < 0 ist  <math>D = R^-_0</math>
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5. Ist <math> a > 0</math> dann ist <math>D = [-\frac{b}{a};\infty[ </math> und ist <math> a < 0</math>, dann ist <math>D = ]-\infty;-\frac{b}{a}] </math>
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Aufgabe 9:
 
Aufgabe 9:

Version vom 30. April 2012, 17:58 Uhr

Startseite --- Die Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen --- Die allgemeine Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen --- Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

Bei den Übungen zur Wurzelfunktion lernst du weitere sich aus ihr ergebene Funktionen kennen.

  Aufgabe 5  Stift.gif

Zeichne den Graphen der Funktionen f:x \rightarrow x^2 im Intervall [0;3] und den Graphen der Funktion g:x \rightarrow \sqrt x im Intervall [0;7] in ein Koordinatensystem.

Beschreibe mit Worten die besondere Lage dieser beiden Graphen zueinander.


Neben der Quadratwurzelfunktion treten auch Funktionsterme der Art

a \sqrt x,
a \sqrt x + b und
\sqrt {ax+b}

auf. Diese wirst du nun mit der Methode "Gruppenpuzzle" untersuchen.

Jede der folgenden Aufgabenstellungen (6, 7 und 8) wird von ein oder zwei Gruppen bearbeitet. Jedes Gruppenmitglied muss in der Lage sein, das Wissen weiterzugeben.
Überlegt gemeinsam, welche Informationen am wichtigsten sind und unbedingt in euren Mitschriften stehen sollten.

  Aufgabe 6  Stift.gif

Im Applet ist der Graph der Wurzelfunktion f:x \rightarrow a \sqrt x mit x \in R^+_0 dargestellt.
Variiere mit dem Schieberegler den Wert von a.

Beschreibe, wie sich der Graph der Wurzelfunktion x \rightarrow \sqrt x ändert für

  1. a = -1
  2. 0 < a < 1
  3. 1 < a
  4. a < 0

Wie wirkt sich die Änderung des Parameters a auf die Definitions- und Wertemenge aus?


  Aufgabe 7  Stift.gif

Du betrachstest die Funktion f: x \rightarrow a \sqrt x + b . Im folgenden Applet kannst du mit den Schiebereglern die Werte für a und b verändern.
Anfangs ist a = 1 und b = 0. Es ist der Graph der Quadratwurzelfunktion dargestellt.


1. Variiere a. Was stellst du fest?
Wie ändern sich die Definitionsmenge D und die Wertemenge W?
2. Stelle wieder a = 1 ein. Was passiert, wenn du den Wert von b änderst?
Wie ändern sich die Definitionsmenge D und die Wertemenge W der Funktion.

3. Variiere nun a und b gleichzeitig und beobachte was passiert.
4. Gib die Definitionsmenge D und die Wertemenge W der Funktion f: x \rightarrow a \sqrt x + b an.


  Aufgabe 8  Stift.gif

Du betrachstest die Funktion f: x \rightarrow \sqrt{ax + b} . Im folgenden Applet kannst du mit den Schiebereglern die Werte für a und b verändern.
Anfangs ist a = 1 und b = 0. Es ist der Graph der Quadratwurzelfunktion dargestellt.


1. Was passiert, wenn du den Wert von b änderst? Unterscheide b > 0 und b < 0. Gib die Nullstellen an!
Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion. 2. Stelle wieder b = 0 ein. Variiere nun a. Was stellst du fest? Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion. 3. Variiere nun a und b gleichzeitig und beachte was passiert. 4. Wo ist die Nullstelle der Funktion f: x \rightarrow \sqrt{ax + b} ? 5. Gib die Definitionsmenge der Funktion f: x \rightarrow \sqrt{ax + b} an.


Mischgruppen
Jede Mischgruppe besteht aus mindestens einer Expertin bzw. einem Experten zu den obigen drei Aufgaben. Die Expertinnen und Experten fassen das Wesentliche für die anderen zusammen. Gemeinsam werden anschließend die folgenden drei Aufgaben gelöst.

  Aufgabe 9  Stift.gif

Skizziere und vergleiche die Graphen folgender Funktionen! Gib jeweils den Definitions- und Wertebereich an!
a) f(x) = \sqrt{x+2}
b) g(x) = \sqrt x + 2
c) h(x) = \sqrt{x-2}
d) k(x)=2\sqrt{x}
e) l(x) = \sqrt x - 2
f) m(x) = -2\sqrt{x}



Wf versch.jpg
f: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der x-Achse nach links verschoben.
g: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der y-Achse nach oben verschoben.
h: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
k: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der y-Achse nach unten verschoben.


  Aufgabe 10  Stift.gif

Es ist die Funktion f: x \rightarrow \sqrt{25-x^2} gegeben.

  1. Bestimme die Definitionsmenge.
  2. Zeichne den Graphen.
  3. Wie kann man den Graphen noch bezeichnen?
  4. Bonus: Zeige, dass alle Punkte auf dem Graphen vom Ursprung den gleichen Abstand haben.

  1. D = [-5;5]
  2. Halbkreis.jpg
  3. Halbkreis
  4. Für einen Punkt P(x;y) auf dem Graphen gilt: x^2 + y^2 = x^2 + (25 - x^2) = 25 unabhängig von x. Also hat jeder Punkt auf dem Graphen den Abstand 5 vom Ursprung.


  Aufgabe 11  Stift.gif

a) Löse dieses Quiz.
b) Öffne diese Webseite.
Wähle Niveau 2 und finde zum gegebenen Funktionsgraph den passenden Funktionsterm.
Hinweis zur Schreibweise: Schreibe für \sqrt x sqrt(x).


Präsentation der Ergebnisse - Staffellauf
Präsentiert nun eure Ergebnisse zu den Aufgaben 9 und 10 aus der Mischgruppe in Form eines Staffellaufes.
D.h.: Jede Teilaufgabe wird von einem/einer Schüler/in im Plenum vorgestellt.

Aufgabe 5:

Wf qf.jpg

Die Graphen von f und g sind symmetrisch zur Gerade y = x (1. Mediane).


Aufgabe 6:

  1. Für a = -1 wird der Graph der Wurzelfunktion x \rightarrow \sqrt x an der x-Achse gespiegelt.
  2. Für 0 < a < 1 wird der Graph der Wurzelfunktion x \rightarrow \sqrt x in y-Richtung gestaucht.
  3. Für 1 < a wir der Graph der Wurzelfunktion x \rightarrow \sqrt x in y-Richtung gestreckt.
  4. Für negative a wird der Graph von 2. oder 3. an der y-Achse gespiegelt.

Die Definitionsmenge bleibt R^+_0.

Für a > 0 ist die Wertemenge R^+_0, für a = 0 ist sie {0} und für a < 0 R^-_0

Aufgabe 7:

1. Wie in Aufgabe 6!
2. Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um b in Richtung der y-Achse verschoben.
Es ist D = R^+_0 und W = [b; \infty [

3. a bewirkt eine Stauchung für 0 < a < 1 und eine Streckung für a > 1.
b bewirkt, dass der Graph der Funktion mit dem Funktionsterm a \sqrt x um b in Richtung der y-Achse verschoben wird.
Ist a negativ, so wird der Graph an der waagrechten Geraden y = b gespiegelt.
4. D = R^+_0 und W = [b; \infty[ für a > 0 und W = ]-\infty;b] für a < 0

Aufgabe 8:

1. Für b > 0 wird der Graph der Wurzelfunktion entlang der x-Achse nach links verschoben.
Für b < 0 wird der Graph der Wurzelfunktion entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
Die Nullstelle tritt bei x = -b auf.
D = [-b;\infty[ , Wertemenge: R^+_0

2. Für 0 < a < 1 wird der Graph der Wurzelfunktion in y-Richtung gestaucht.
Für a > 1 wird der Graph in y-Richtung gestreckt.
Ist a < 0 so wird der Graph mit |a| an der y-Achse gespiegelt.
Für a > 0 ist D = R^+_0, für a < 0 ist D = R^-_0
Wertemenge: R^+_0

4. x = -\frac{b}{a}

5. Ist a > 0 dann ist D = [-\frac{b}{a};\infty[ und ist a < 0, dann ist D = ]-\infty;-\frac{b}{a}]

Aufgabe 9:

Aufgabe 10:

Aufgabe 11:

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