Aktuelle Version vom 23. November 2016, 08:26 Uhr

Startseite - 1. Bremsweg - 2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse - 3. Übungen 1 - 4. Köln-Arena - 5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform -
6. Übungen 2 - 7. Allgemeine quadratische Funktion - 8. Übungen 3 - 9. Aufgaben

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine quadratische Funktion mit den Parametern a, b und c
- 1.1 Scheitelform in allgemeine Form
- 1.2 Allgemeine Form in Scheitelform
2 Einfluss der Parameter a, b, c

Allgemeine quadratische Funktion mit den Parametern a, b und c

Du hast bisher kennengelernt, dass du eine quadratische Funktion in der Scheitelform $f: x \rightarrow a(x - d)^2 + e$ schreiben kannst und in dieser Darstellung erkennst du die Scheitelkoordinaten S(d;e).

Meist werden quadratische Funktionen in der der Form $f: x \rightarrow ax^2 + bx +c$ geschrieben. Auf dieser Seite soll nun der Zusammenhang zwischen beiden Darstellungen gewonnen und der Einfluss der Parameter a, b und c untersucht werden.

Merke:

Die allgemeine quadratische Funktion lautet

$f: x\rightarrow ax^2 + bx + c$ .

Dabei sind $\ a, b, c$ Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt $\ a,b,c \in R$ und $a\neq 0$ .

Scheitelform in allgemeine Form

Du kennst die binomische Formeln. Mit deren Hilfe kannst du den Term der Scheitelform $a(x - d)^2 + e$ in den Term der allgemeinen quadratischen Funktion $ax^2 + bx + c$ überführen.

Mit der 2. binomischen Formel ist $(x - d)^2$ in $x^2 - 2dx + d^2$ . Es ist dann

$f(x) = a(x - d)^2 + e = a(x^2 - 2dx + d^2) + e = ax^2 - 2adx + ad^2 + e$

Vergleicht man diesen Term mit $f(x) = ax^2 + bx +c$ , dann ist $b = -2ad$ und $c = ad^2 +e$ .

Allgemeine Form in Scheitelform

Umgekehrt kann man den Term $f(x) = ax^2 + bx +c$ mittels quadratischer Ergänzung in den Term $a(x - d)^2 + e$ überführen. Es ist dann $d = -\frac{b}{2a}$ und $e = c - \frac{b^2}{4a}$

Aufgabe

1. Forme in die allgemeine Form um

$2(x - 3)^2 + 1$

$\frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2$

2. Forme in die Scheitelform um

$x^2 + 4x - 2$

$2x^2 + 3x + 2$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1.

$2x^2 - 12x + 19$

$\frac{1}{2}x^2 - 2x$

2.

$(x + 2)^2 - 6$

$2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{7}{8}$

Einfluss der Parameter a, b, c

Du kannst hier nun den Einfluss der Parameter a, b und c in der Funktion $f$ mit $f(x) = ax^2 + bx + c$ untersuchen.

Hefteintrag: Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit drei Spalten für den Einfluss von $\ a,b$ und $\ c$ anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.

Einfluss von a	Einfluss von b	Einfluss von c
Untersuche hier den Einfluss von $\ a$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \ a x^2$ .	Untersuche hier den Einfluss von $\ b$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \ x^2 + bx$ .	Untersuche hier den Einfluss von $\ c$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \ x^2 + c$ .

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

Merke:

1. Die allgemeine quadratische Funktion lautet

$x\rightarrow ax^2 + bx + c$ .

Dabei sind $\ a, b, c$ Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt $\ a,b,c \in R$ und $a\neq 0$ .

2. Der allgemeinste Fall einer quadratischen Funktion hat also die Funktionsgleichung f(x)=ax²+bx+c

Aufgabe 1

Experimentiere mit dem Applet und erläutere, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen haben.

a bestimmt die Weite und die Öffnung nach oben und unten
b verschiebt den Scheitel
c verschiebt den Scheitel für c > 0 nach oben und für c < 0 nach unten

Aufgabe 2

Stelle die drei Schieberegler so ein, dass der schwarze Graph genau auf dem

roten
grünen
blauen

Graphen liegt.

a = 0,5; b = 2,4; c = - 1
a = - 1; b = -3; c = 2
a = 0,5; b = - 2,4; c = - 1

Aufgabe 3

Untersuche nun die Funktionen f mit f(x) = 1,5x² + 9x + 11,5 und g mit g(x) = -0,5x² + x + 2,5

Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen G_f und G_g in ein gemeinsames Koordinatensystem.
Gib die Koordinaten der beiden Scheitel S_f und S_g an.
Vergleiche die beiden Parabeln mit der Normalparabel.

Scheitel von f: S(-3/-2); Scheitel von g: S(1/3)
Parabel von f: Enger als Normalparabel, nach oben geöffnet, verschoben

Parabel von g: Weiter als Normalparabel, nach unten geöffnet, verschoben

Merke:

Der Funktionsterm $ax^2 + bx + c$ einer allgemeinen quadratischen Funktion $f: x\rightarrow ax^2 + bx + c$ enthält einen
reinquadratischen Teil $ax^2$ , einen linearen Teil $bx$ und einen konstanten Teil $c$ .

Als nächstes kannst du prüfen, ob du alles verstanden hast.

Hier geht es weiter.

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-[[Quadratische_Funktionen_2|'''Startseite''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsweg|'''1. Bremsweg''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsbeschleunigung|'''2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen1|'''3. Übungen 1''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Köln-Arena|'''4. Köln-Arena''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Einfluss_der_Parameter|'''5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform''']] - <br>[[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen2|'''6. Übungen 2''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''7. Allgemeine quadratische Funktion''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen3|'''8. Übungen 3''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Aufgaben|'''9. Aufgaben''']]
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+__NOCACHE__
 =Allgemeine quadratische Funktion mit den Parametern a, b und c=
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 Du hast bisher kennengelernt, dass du eine quadratische Funktion in der Scheitelform <math>f: x \rightarrow a(x - d)^2 + e  </math> schreiben kannst und in dieser Darstellung erkennst du die Scheitelkoordinaten S(d;e).
-Oft werden quadratische Funktionen in der der Form <math>f: x \rightarrow  ax^2 + bx +c</math> geschrieben. Auf dieser Seite soll nun der Zusammenhang zwischen beiden Darstellungen gewonnen und der Einfluss der Parameter a, b und c untersucht werden.
+Meist werden quadratische Funktionen in der der Form <math>f: x \rightarrow  ax^2 + bx +c</math> geschrieben. Auf dieser Seite soll nun der Zusammenhang zwischen beiden Darstellungen gewonnen und der Einfluss der Parameter a, b und c untersucht werden.
 {{Merksatz|MERK=
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 :<span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math> f: x\rightarrow ax^2 + bx + c </math>'''&nbsp;</span>.
-Dabei sind <math>\ a, b, c </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>\ a,d,e \in \R </math>'''&nbsp;</span> und <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>a\neq 0</math>'''&nbsp;</span>.
+Dabei sind <math>\ a, b, c </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>\ a,b,c \in R </math>'''&nbsp;</span> und <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>a\neq 0</math>'''&nbsp;</span>.
 }}
 ==Scheitelform in allgemeine Form==
-Du kennst die [[quadratische_Funktionen_2_binomischen Formeln|binomische Formeln]]. Damit kannst du <math>(x - d)^2</math> in <math>x^2 - 2dx + d^2</math> überführen. Es ist dann
+Du kennst die [[quadratische_Funktionen_2_binomischen Formeln|binomische Formeln]]. Mit deren Hilfe kannst du den Term der Scheitelform <math> a(x - d)^2 + e</math> in den Term der allgemeinen quadratischen Funktion <math> ax^2 + bx + c</math> überführen.
+Mit der 2. binomischen Formel ist <big><math>(x - d)^2</math></big> in <big><math>x^2 - 2dx + d^2</math></big>. Es ist dann
-<math>f(x) = a(x - d)^2 + e = a(x^2 - 2dx + d^2) + e = ax^2 - 2adx + ad^2 - e</math>
+<big><math>f(x) = a(x - d)^2 + e = a(x^2 - 2dx + d^2) + e = ax^2 - 2adx + ad^2 + e</math></big>
-Vergleicht man diesen Term mit <math> f(x) = ax^2 + bx +c</math>, dann ist b = 2ad und <math>c = ad^2 - e</math>.
+Vergleicht man diesen Term mit <big><math> f(x) = ax^2 + bx +c</math></big>, dann ist <big><math>b = -2ad</math></big> und <big><math>c = ad^2 +e</math></big>.
 ==Allgemeine Form in Scheitelform==
-Umgekehrt kann man den Term <math> f(x) = ax^2 + bx +c</math> mittels [[Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Ergänzung|quadratischer Ergänzung]] in den Term <math>a(x - d)^2 + e </math> überführen.
+Umgekehrt kann man den Term <big><math> f(x) = ax^2 + bx +c</math></big> mittels [[Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Ergänzung|quadratischer Ergänzung]] in den Term <big><math>a(x - d)^2 + e </math></big> überführen. Es ist dann <big><math> d = -\frac{b}{2a}</math></big> und <big><math>e = c - \frac{b^2}{4a}</math></big>
+{{Aufgabe|
+. Forme in die allgemeine Form um<br>
+::<math>2(x - 3)^2 + 1</math>
+::<math>\frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2</math>
+. Forme in die Scheitelform um<br>
+::<math>x^2 + 4x - 2</math>
+::<math>2x^2 + 3x + 2</math>
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-----
+{{Lösung versteckt|1=
+.
+:<math>2x^2 - 12x + 19</math>
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+=Einfluss der Parameter a, b, c=
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-Die <span style="background-color:yellow;">allgemeine quadratische Funktion</span> lautet
+. Die <span style="background-color:yellow;">allgemeine quadratische Funktion</span> lautet
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-Dabei sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>\ a,b,c \in \R </math>'''&nbsp;</span> und <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>a,b\neq 0</math>'''&nbsp;</span>.}}
+Dabei sind <math>\ a, b, c </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>\ a,b,c \in R </math>'''&nbsp;</span> und <span style="background-color:yellow;">&nbsp;'''<math>a\neq 0</math>'''&nbsp;</span>.
+. Der allgemeinste Fall einer quadratischen Funktion hat also die Funktionsgleichung <big>f(x)=ax<sup>2</sup>+bx+c</big> }}
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-Der allgemeinste Fall einer quadratischen Funktion hat also die Funktionsgleichung:
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 NUMMER=3|
 ARBEIT=
-Untersuche nun die Funktionen f mit '''f(x) = 1,5x<sup>2</sup> + 9x + 11,5''' und g mit '''g(x) = 0,5x<sup>2</sup> + x + 2,5'''
+Untersuche nun die Funktionen f mit '''f(x) = 1,5x<sup>2</sup> + 9x + 11,5''' und g mit '''g(x) = -0,5x<sup>2</sup> + x + 2,5'''
 #Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen G<sub>f</sub> und G<sub>g</sub> in ein gemeinsames Koordinatensystem.
 #Gib die Koordinaten der beiden Scheitel S<sub>f</sub> und S<sub>g</sub> an.
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 }}
 |}
-=== Die allgemeine quadratische Funktion in der Anwendung ===
-Der Term einer allgemeinen quadratischen Funktion enthält einen reinquadratischen Teil ('''ax<sup>2</sup>'''), einen linearen Teil ('''bx''') und einen konstanten Teil ('''c''').
-Du hast in den vorangegangenen Kapiteln erfahren, dass sich beim Bremsen eines Pkws der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem zurückgelegten Weg durch eine quadratische Funktion der Form '''f(x) = ax<sup>2</sup> + bx''' beschreiben lässt, wobei der reinquadratische Teil den Bremsweg und der lineare Teil den Reaktionsweg bestimmt.<br>
-{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
-|align = "left" width="930"|
-{{Arbeiten|
-NUMMER=4|
-ARBEIT=
-Welche Bedeutung hat der konstante Teil des Funktionsterms im Anwendungsbeispiel "Abbremsen eines Pkw"?
-:{{Lösung versteckt|1=
-:Der lineare Teil gibt den Weg an, den das Fahrzeug zurücklegt, bevor die Gefahrensituation eintritt.
-:Beispiel:
-::Ein Fahrzeug biegt in eine Straße ein. Nach 30 m sieht der Fahrer, dass vor ihm ein Ball auf die Straße rollt und bremst. Wieviel Meter von der Kreuzung entfernt kommt das Fahrzeug zum Stehen?
-::Entfernung zur Kreuzung: s = a·v<sup>2</sup> + b·v + c  mit c = 30m
-}}
-}}
-|}
+{{Merksatz|MERK=
+Der Funktionsterm  '''<math> ax^2 + bx + c </math>'''  einer allgemeinen quadratischen Funktion '''<math> f: x\rightarrow ax^2 + bx + c </math>'''enthält einen <br>
+reinquadratischen Teil '''<math>ax^2</math>''', einen linearen Teil '''<math>bx</math>''' und einen konstanten Teil '''<math>c</math>'''. }}
 <br />
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 |}
+----
+<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
+[[Quadratische_Funktionen_2_Startseite|'''Startseite''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsweg|'''1. Bremsweg''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsbeschleunigung|'''2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen1|'''3. Übungen 1''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Köln-Arena|'''4. Köln-Arena''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Einfluss_der_Parameter|'''5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen2|'''6. Übungen 2''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''7. Allgemeine quadratische Funktion''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen3|'''8. Übungen 3''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Aufgaben|'''9. Aufgaben''']]

Quadratische Funktionen 2 - Allgemeine quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Allgemeine quadratische Funktion mit den Parametern a, b und c

Scheitelform in allgemeine Form

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