Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 8. Februar 2012, 14:31 Uhr

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Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt $A = a^2$ .
Man weiß von einem Quadrat, dass es den Flächeninhalt 9 FE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.
Es ist $a = sqrt A$

Wie du in diesem Beispeil gesehen hast, erhält man aus dem Flächeninhalt A eines Quadrats die zugehörige Seitenlänge a des Quadrats.

Merke:

Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung $f: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.

Sie entsteht durch Umkehrung der Fragestellung:
Welchen Flächeninhalt A hat ein Quadrat mit Seitenlänge a?
Diese Fragestellung wird durch die Funktion $g:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ beschrieben.

Man nennt f die Umkehrfunktion zur Funktion g.

Aufgabe 1

In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen $f: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ und $g:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ dargestellt.

Was fällt dir auf?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Graphen sind zueinander achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. Quadranten

Aufgabe 2

Bearbeite diese Seite und beantworte dann:
Wie erhält man

graphisch
rechnerisch

von der Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ ?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Spiegeln an der Geraden $y = x$
In der Gleichung $y = x^n$ x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält $y = \sqrt[n]{x}$ .

Merke:

Für jede natürliche Zahl $n$ ist die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ mit $x \in R^+_0$ umkehrbar.
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ .

@@ Zeile 49: / Zeile 49: @@
 {{Lösung versteckt|
 # Spiegeln an der Geraden <math> y = x</math>
-# In der Gleichung <math> y = x^n</math> x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält <math> y = \sqrt[n]x}</math>.
+# In der Gleichung <math> y = x^n</math> x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält <math> y = \sqrt[n]{x}</math>.
 }}

Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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