Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 8. Februar 2012, 15:52 Uhr

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Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt $A = a^2$ .
Man weiß von einem Quadrat, dass es den Flächeninhalt 9 FE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.
Es ist $a = sqrt A$

Wie du in diesem Beispeil gesehen hast, erhält man aus dem Flächeninhalt A eines Quadrats die zugehörige Seitenlänge a des Quadrats.

Merke:

Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung $f: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.

Sie entsteht durch Umkehrung der Fragestellung:
Welchen Flächeninhalt A hat ein Quadrat mit Seitenlänge a?
Diese Fragestellung wird durch die Funktion $g:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ beschrieben.

Man nennt f die Umkehrfunktion zur Funktion g.

Aufgabe 1

In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen $f: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ und $g:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ dargestellt.

Was fällt dir auf?

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Aufgabe 2

Bearbeite diese Seite und beantworte dann:
Wie erhält man für $x \in R^+_0$

graphisch
rechnerisch

von der Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ ?

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Merke:

Für jede natürliche Zahl $n$ ist die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ mit $x \in R^+_0$ umkehrbar.
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ .

Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für $x \in R$ definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für $x \in R$ umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seite:
Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion

@@ Zeile 59: / Zeile 59: @@
 Die Umkehrfunktion <math> f^{-1}</math> lautet: <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math>.
 }}
+'''Bemerkung: '''
+Alle Potenzfunktionen sind für <math>x \in R</math> definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für <math>x \in R</math> umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seite:<br>
+[http://www.mathematik.net/Pot-fkt/Pw4s10.htm Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation]<br>
+[http://www.mathematik.net/Pot-fkt/Pw4s13.htm So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion]

Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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