Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 25. Februar 2012, 11:18 Uhr

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Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt $A = a^2$ .
Man weiß von einem Quadrat, dass es den Flächeninhalt 9 FE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.
Es ist $a = sqrt A$

Ausgangspunkt war die Gleichung $A = a^2$ . Indem man die Gleichung nach $a$ auflöst erhält man sozusagen die Umkehrung.

Merke:

Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl $x$ ihr Quadrat $x^2$ zu, so erhält man die Quadratfunktion $f:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ .

Macht man die Zuordnung umgekehrt und ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung $g: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion. Man erhält diese Funktion durch Umkehrung der Fragestellung:
Welche Seitenlänge a hat ein Quadrat mit Flächeninhalt A?

Man nennt $g$ die Umkehrfunktion zur Funktion $f$ und schreibt statt $g$ auch $f^{-1}$ .
Die Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion $f:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ .

Aufgabe 1

In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen $f:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ und $g: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ dargestellt.

Was fällt dir auf?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2

Bearbeite diese Seite und beantworte dann:
Wie erhält man für $x \in R^+_0$

graphisch
rechnerisch

von der Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ die Umkehrfunktion $f^{-1}$ ?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Merke:

Für jede natürliche Zahl $n$ ist die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ mit $x \in R^+_0$ umkehrbar.
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ . Sie heißt n-te Wurzelfunktion.

Die n-te Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ kann man auch als Potenzfunktion mit Stammbruchexponenten betrachten. Es ist dann $f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}}$ mit $x \in R^+_0$ und $n \in N$ .

Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für $x \in R$ definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für $x \in R^-$ umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seite:

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion

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 '''Bemerkung: '''
-Alle Potenzfunktionen sind für <math>x \in R</math> definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für <math>x \in R</math> umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seite:<br>
+Alle Potenzfunktionen sind für <math>x \in R</math> definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für <math>x \in R^-</math> umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seite:
 [http://www.mathematik.net/Pot-fkt/Pw4s10.htm Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation]<br>
 [http://www.mathematik.net/Pot-fkt/Pw4s13.htm So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion]

Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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