Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. April 2012, 15:40 Uhr

Startseite --- Die Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen --- Die allgemeine Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen --- Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt $A = a^2$ .

Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite $a$ ? Natürlich 3 LE.

Es gilt also: $a = sqrt A$

Ausgangspunkt war die Gleichung $A = a^2$ .
Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach $a$ aufgelöst.

Merke

Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl $x$ ihr Quadrat $x^2$ zu, so erhält man die Quadratfunktion $f:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ .

Macht man die Zuordnung umgekehrt und ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung $g: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion. Man erhält diese Funktion durch Umkehrung der Fragestellung:
Welche Seitenlänge a hat ein Quadrat mit Flächeninhalt A?

Man nennt $g$ die Umkehrfunktion zur Funktion $f$ und schreibt statt $g$ auch $f^{-1}$ .
Die Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion $f:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ .

Aufgabe 1

In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen $f:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ und $g: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ dargestellt.

Was fällt dir auf?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Graphen sind zueinander achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. Quadranten

Aufgabe 2

Bearbeite diese Seite und beantworte dann:
Wie erhält man für $x \in R^+_0$

graphisch
rechnerisch

von der Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ die Umkehrfunktion $f^{-1}$ ?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Spiegeln an der Geraden $y = x$
In der Gleichung $y = x^n$ x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält $y = \sqrt[n]{x}$ .
Die Umkehrfunktion lautet $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ .

Da $x \in R^+_0$ ist, muss man nicht auf die Definitionsmenge aufpassen und diese eventuell einschränken.

Merke

Für jede natürliche Zahl $n$ ist die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ mit $x \in R^+_0$ umkehrbar.
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ . Sie heißt n-te Wurzelfunktion.

Die n-te Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ kann man auch als Potenzfunktion mit Stammbruchexponenten betrachten. Es ist dann $f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}}$ mit $x \in R^+_0$ und $n \in N$ .

Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für $x \in R$ definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für $x \in R^-$ umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seiten:

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 Nochmals zum Anfangsbeispiel:
-Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt <math> A = a^2</math>.<br>
+Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt <math> A = a^2</math>.<br><br>
-Man weiß von einem Quadrat, dass es den Flächeninhalt 9 FE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.<br>
+Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite <math>a</math>? Natürlich 3 LE.<br><br>
-Es ist <math> a = sqrt A</math>
+Es gilt also: <math> a = sqrt A</math>
-Ausgangspunkt war die Gleichung <math> A = a^2</math>. Indem man die Gleichung nach <math>a</math> auflöst erhält man sozusagen die Umkehrung.
+Ausgangspunkt war die Gleichung <math> A = a^2</math>. <br>
+Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach <math>a</math> aufgelöst.

Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. April 2012, 15:40 Uhr

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Aktionen

Suche

Navigation

Werkzeuge