Quadratische Funktionen 2 - Allgemeine quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Du kennst die [[quadratische_Funktionen_2_binomischen Formeln|binomische Formeln]]. Damit kannst du <big><math>(x - d)^2</math></big> in <big><math>x^2 - 2dx + d^2</math></big> überführen. Es ist dann  
  
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Vergleicht man diesen Term mit <math> f(x) = ax^2 + bx +c</math>, dann ist <math>b = -2ad</math> und <math>c = ad^2 +e</math>.
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Vergleicht man diesen Term mit <big><math> f(x) = ax^2 + bx +c</math></big>, dann ist <big><math>b = -2ad</math></big> und <big><math>c = ad^2 +e</math></big>.
  
 
==Allgemeine Form in Scheitelform==
 
==Allgemeine Form in Scheitelform==
  
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Umgekehrt kann man den Term <math> f(x) = ax^2 + bx +c</math> mittels [[Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Ergänzung|quadratischer Ergänzung]] in den Term <math>a(x - d)^2 + e </math> überführen. Es ist dann
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Umgekehrt kann man den Term <big><math> f(x) = ax^2 + bx +c</math></big> mittels [[Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Ergänzung|quadratischer Ergänzung]] in den Term <big><math>a(x - d)^2 + e </math></big> überführen. Es ist dann <big><math> d = -\frac{b}{2a}</math></big> und <big><math>e = c - \frac{b^2}{4a}</math></big>
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Version vom 9. August 2011, 16:27 Uhr

Startseite - 1. Bremsweg - 2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse - 3. Übungen 1 - 4. Köln-Arena - 5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform -
6. Übungen 2 - 7. Allgemeine quadratische Funktion - 8. Übungen 3 - 9. Aufgaben


Inhaltsverzeichnis

Allgemeine quadratische Funktion mit den Parametern a, b und c

Du hast bisher kennengelernt, dass du eine quadratische Funktion in der Scheitelform f: x \rightarrow a(x - d)^2 + e schreiben kannst und in dieser Darstellung erkennst du die Scheitelkoordinaten S(d;e).

Meist werden quadratische Funktionen in der der Form f: x \rightarrow ax^2 + bx +c geschrieben. Auf dieser Seite soll nun der Zusammenhang zwischen beiden Darstellungen gewonnen und der Einfluss der Parameter a, b und c untersucht werden.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die allgemeine quadratische Funktion lautet

  f: x\rightarrow ax^2 + bx + c  .

Dabei sind \ a, b, c Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  \ a,d,e \in \R   und  a\neq 0 .

Scheitelform in allgemeine Form

Du kennst die binomische Formeln. Damit kannst du (x - d)^2 in x^2 - 2dx + d^2 überführen. Es ist dann

f(x) = a(x - d)^2 + e = a(x^2 - 2dx + d^2) + e = ax^2 - 2adx + ad^2 + e

Vergleicht man diesen Term mit f(x) = ax^2 + bx +c, dann ist b = -2ad und c = ad^2 +e.

Allgemeine Form in Scheitelform

Umgekehrt kann man den Term f(x) = ax^2 + bx +c mittels quadratischer Ergänzung in den Term a(x - d)^2 + e überführen. Es ist dann d = -\frac{b}{2a} und e = c - \frac{b^2}{4a}

Stift.gif   Aufgabe

1. Forme in die allgemeine Form um

2(x - 3)^2 + 1
\frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2

2. Forme in die Scheitelform um

x^2 + 4x - 2
2x^2 + 3x + 2

1.

2x^2 - 12x + 19
\frac{1}{2}x^2 - 2x

2.

(x + 2)^2 - 6
2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{7}{8}

Einfluss der Parameter a, b, c

Du kannst hier nun den Einfluss der Parameter a, b und c in der Funktion f mit f(x) = ax^2 + bx + c untersuchen.

Hefteintrag: Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit drei Spalten für den Einfluss von \ a,b und \ c anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.

Einfluss von a Einfluss von b Einfluss von c

Untersuche hier den Einfluss von \ a

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \ a x^2 .

Untersuche hier den Einfluss von \ b

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \ x^2 + bx .

Untersuche hier den Einfluss von \ c

auf die Graphen der Funktionen

x \rightarrow \ x^2 + c .


Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die allgemeine quadratische Funktion lautet

  x\rightarrow ax^2 + bx + c  .

Dabei sind \ a,b,c,d Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  \ a,b,c \in \R   und  a,b\neq 0 .


Der allgemeinste Fall einer quadratischen Funktion hat also die Funktionsgleichung:

f(x)=ax2+bx+c


  Aufgabe 1  Stift.gif

Experimentiere mit dem Applet und erläutere, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen haben.

  1. a bestimmt die Weite und die Öffnung nach oben und unten
  2. b verschiebt den Scheitel
  3. c verschiebt den Scheitel für c > 0 nach oben und für c < 0 nach unten

  Aufgabe 2  Stift.gif

Stelle die drei Schieberegler so ein, dass der schwarze Graph genau auf dem

  1. roten
  2. grünen
  3. blauen

Graphen liegt.

  1. a = 0,5; b = 2,4; c = - 1
  2. a = - 1; b = -3; c = 2
  3. a = 0,5; b = - 2,4; c = - 1


  Aufgabe 3  Stift.gif

Untersuche nun die Funktionen f mit f(x) = 1,5x2 + 9x + 11,5 und g mit g(x) = 0,5x2 + x + 2,5

  1. Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen Gf und Gg in ein gemeinsames Koordinatensystem.
  2. Gib die Koordinaten der beiden Scheitel Sf und Sg an.
  3. Vergleiche die beiden Parabeln mit der Normalparabel.
  1. Quadratisch Wertetabelle.jpg Quadratisch allgemein3.jpg
  2. Scheitel von f: S(-3/-2); Scheitel von g: S(1/3)
  3. Parabel von f: Enger als Normalparabel, nach oben geöffnet, verschoben
Parabel von g: Weiter als Normalparabel, nach unten geöffnet, verschoben

Die allgemeine quadratische Funktion in der Anwendung

Der Term einer allgemeinen quadratischen Funktion enthält einen reinquadratischen Teil (ax2), einen linearen Teil (bx) und einen konstanten Teil (c).

Beim Bremsen eines Pkws ist der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem zurückgelegten Weg durch eine quadratische Funktion der Form f(x) = ax2 + bx beschrieben, wobei der reinquadratische Teil den Bremsweg und der lineare Teil den Reaktionsweg bestimmt.

  Aufgabe 4  Stift.gif

Welche Bedeutung hat der konstante Teil des Funktionsterms im Anwendungsbeispiel "Abbremsen eines Pkw"?

Der lineare Teil gibt den Weg an, den das Fahrzeug zurücklegt, bevor die Gefahrensituation eintritt.
Beispiel:
Ein Fahrzeug biegt in eine Straße ein. Nach 30 m sieht der Fahrer, dass vor ihm ein Ball auf die Straße rollt und bremst. Wieviel Meter von der Kreuzung entfernt kommt das Fahrzeug zum Stehen?
Entfernung zur Kreuzung: s = a·v2 + b·v + c mit c = 30m



Maehnrot.jpg Als nächstes kannst du prüfen, ob du alles verstanden hast.

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