Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 3. Februar 2012, 17:08 Uhr

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Wuerfel.jpg



Ein Würfel mit Seitenlänge a hat dasVolumen V = a^3.

Man weiß von einem Würfel, dass es das Volumen 27 VE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.

Es ist

a = V^{\frac{1}{3}}

Man schreibt auch dafür

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): a = \sqrt[3]{V}\




Maehnrot.jpg
Merke:

Die Gleichung a = x^n hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung

x = a^{\frac{1}{n}} oder Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): x = \sqrt[n]{a}\

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \sqrt[n]{a}\ 

heißt die n-te Wurzel aus a.


Stift.gif   Aufgabe

a) Setze verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein, und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben. Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein.

b) Erstelle ein V-a-Diagramm (V nach rechts, a nach oben antragen!)

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a) Wuerfel V-a-Tabelle.jpg
b) Wuerfel V-a-graph.jpg
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Wuerfel V-a-graph 2.jpg


Maehnrot.jpg
Merke:

Man definiert für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\ 

mit  x \in R^+_0 und n \in N.


  Aufgabe 1  Stift.gif

Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion an.


f:V \rightarrow \sqrt[3]{V} mit V \in R^+_0


  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\
  1. Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?


1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.

2. (0;0 und (1;1)


  Aufgabe 3  Stift.gif

Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:
Variiere mit dem Schieberegler n.

  1. Was ist der Unterschied zu Aufgabe 2?
  2. Wieso ist dies möglich?


  1. Für ungerade n ist der Funktionsgraph auch für negative x gezeichnet.
  2. Es ist (-3)^3=(-3)(-3)(-3)=-27 und damit \sqrt[3]{-27}\ = -3 oder allgemein (-a)^3=-a^3 und damit \sqrt[3]{-a^3}\ = -a , also ist bei ungeraden Exponenten n auch die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl erklärt.
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