Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 9. Februar 2012, 08:29 Uhr

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Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt $A = a^2$ .
Man weiß von einem Quadrat, dass es den Flächeninhalt 9 FE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.
Es ist $a = sqrt A$

Ausgangspunkt war die Gleichung $A = a^2$ . Indem man die Gleichung nach $a$ auflöst erhält man sozusagen die Umkehrung.

Merke:

Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl $x$ ihr Quadrat $x^2$ zu, so erhält man die Quadratfunktion $f:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ .

Macht man die Umkehrung umgekehrt und ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung $g: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion. Man erhält diese Funktion durch Umkehrung der Fragestellung:
Welche Seitenlänge a hat ein Quadrat mit Flächeninhalt A?

Man nennt $g$ die Umkehrfunktion zur Funktion $f$ und schreibt statt $g$ auch $f^{-1}$ .
Die Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion $f:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ .

Aufgabe 1

In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen $f:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ und $g: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ dargestellt.

Was fällt dir auf?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2

Bearbeite diese Seite und beantworte dann:
Wie erhält man für $x \in R^+_0$

graphisch
rechnerisch

von der Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ die Umkehrfunktion $f^{-1}$ ?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Merke:

Für jede natürliche Zahl $n$ ist die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ mit $x \in R^+_0$ umkehrbar.
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ .

Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für $x \in R$ definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für $x \in R$ umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seite:
Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Bild:Quadrat.jpg‎|right]]
+Nochmals zum Anfangsbeispiel:
 Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt <math> A = a^2</math>.<br>
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 Es ist <math> a = sqrt A</math>
-Wie du in diesem Beispeil gesehen hast, erhält man aus dem Flächeninhalt A eines Quadrats die zugehörige Seitenlänge a des Quadrats.
+Ausgangspunkt war die Gleichung <math> A = a^2</math>. Indem man die Gleichung nach <math>a</math> auflöst erhält man sozusagen die Umkehrung.
 {{Merksatz|MERK=
-Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung <math> f: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.
-Sie entsteht durch Umkehrung der Fragestellung:<br>
+Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl <math>x</math> ihr Quadrat <math>x^2</math> zu, so erhält man die Quadratfunktion <math>f:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math>.
-Welchen Flächeninhalt A hat ein Quadrat mit Seitenlänge a?<br>
-Diese Fragestellung wird durch die Funktion <math>g:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math> beschrieben.
+Macht man die Umkehrung umgekehrt und ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung <math> g: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion. Man erhält diese Funktion durch Umkehrung der Fragestellung:<br>
+Welche Seitenlänge a hat ein Quadrat mit Flächeninhalt A?<br>
-Man nennt f die '''Umkehrfunktion''' zur Funktion g.
+Man nennt <math>g</math> die '''Umkehrfunktion''' zur Funktion <math>f</math> und schreibt statt <math>g</math> auch <math> f^{-1}</math>.<br>
+Die Wurzelfunktion <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion  <math>f:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math>.
 }}
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 {{Arbeiten|NUMMER=1| ARBEIT=
-In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen <math> f: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math>g:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math> dargestellt.
+In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen <math>f:\rightarrow x^2</math> mit <math> x\in R^+_0</math> und <math> g: x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math> x \in R^+_0</math> dargestellt.
 <center>[[Datei:Umk_funk_1.jpg]]</center>
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 # graphisch
 # rechnerisch<br>
-von der Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^n</math> die Umkehrfunktion <math> f^{-1}</math> lautet: <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math>?
+von der Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^n</math> die Umkehrfunktion <math> f^{-1}</math>?
 }}
@@ Zeile 49: / Zeile 50: @@
 {{Lösung versteckt|
 # Spiegeln an der Geraden <math> y = x</math>
-# In der Gleichung <math> y = x^n</math> x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält <math> y = \sqrt[n]{x}</math>.<br>
+# In der Gleichung <math> y = x^n</math> x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält <math> y = \sqrt[n]{x}</math>.<br> Die Umkehrfunktion lautet <math> f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math>.
 Da <math>x \in R^+_0</math> ist, muss man nicht auf die Definitionsmenge aufpassen und diese eventuell einschränken.
 }}

Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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