Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 25. Februar 2012, 09:57 Uhr

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Ein Würfel mit der Seitenlänge $a$ hat das Volumen $V = a^3$ .

Ist die Seitenlänge $a= 3 cm$ , dann ist das Volumen $V = 27 cm^3$ .

Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen $V= 27 cm^3$ die zugehörige Seitenlänge $a= 3 cm$ .

Aufgabe

Im folgenden Applet ist über der Seitenlänge $a$ eines Würfels das Volumen $V$ aufgetragen. Der Punkt V hat die Koordinaten ( $a, V$ ). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für $a$ einstellen.

a) Welches Volumen $V$ ergibt sich für $a$ = 1; 1,5; 2; 2,5?
b) Welchen Wert nimmt $V$ für $a$ = 3; 5; 10; 15 an?
c) Lies durch Variation des Schiebereglers ab für welche Werte $a$ das Volumen $V$ = 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576 ist.

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a) a, 3,375; 8; 15,625
b) 27; 125; 1000; 3375
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6

Es ist

$a = V^{\frac{1}{3}}$

Man schreibt auch dafür

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): a = \sqrt[3]{V}\

Merke:

Die Gleichung $a = x^n$ hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung

$x = a^{\frac{1}{n}}$ oder Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): x = \sqrt[n]{a}\

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \sqrt[n]{a}\

heißt die n-te Wurzel aus a.

Aufgabe

a) Setze verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein, und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben. Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein.

b) Erstelle ein V-a-Diagramm (V nach rechts, a nach oben antragen!)

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a)
b)
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Merke:

Man definiert für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\

mit  und .

Aufgabe 1

Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion an.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}$ mit $V \in R^+_0$

Aufgabe 2

Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\

Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.

2. (0;0 und (1;1)

Aufgabe 3

Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:
Variiere mit dem Schieberegler n.

Was ist der Unterschied zu Aufgabe 2?
Wieso ist dies möglich?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Für ungerade n ist der Funktionsgraph auch für negative x gezeichnet.
Es ist $(-3)^3=(-3)(-3)(-3)=-27$ und damit $\sqrt[3]{-27}\ = -3$ oder allgemein $(-a)^3=-a^3$ und damit $\sqrt[3]{-a^3}\ = -a$ , also ist bei ungeraden Exponenten n auch die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl erklärt.

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-[[Datei:Wuerfel.jpg|right]]
+[[Datei:Wuerfel.jpg|200px|right]]
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 {{Aufgabe|1=
-Im folgenden Applet ist über der Seitenlänge <math>a</math> eines Würfels das Volumen <math>V</math> aufgetragen. Der Punkt V hat die Koordinaten (<math>a, V</math>). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für a einstellen.
+Im folgenden Applet ist über der Seitenlänge <math>a</math> eines Würfels das Volumen <math>V</math> aufgetragen. Der Punkt V hat die Koordinaten (<math>a, V</math>). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für <math>a</math> einstellen.
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 <center><math> a = \sqrt[3]{V}\</math></center>

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