Wurzelfunktion Übungen 1: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 30. April 2012, 18:39 Uhr

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Bei den Übungen zur Wurzelfunktion lernst du weitere sich aus ihr ergebene Funktionen kennen.

Aufgabe 5

Zeichne den Graphen der Funktionen $f:x \rightarrow x^2$ im Intervall [0;3] und den Graphen der Funktion $g:x \rightarrow \sqrt x$ im Intervall [0;7] in ein Koordinatensystem.

Beschreibe mit Worten die besondere Lage dieser beiden Graphen zueinander.

Neben der Quadratwurzelfunktion treten auch Funktionsterme der Art

$a \sqrt x$ ,

$a \sqrt x + b$ und

$\sqrt {ax+b}$

auf. Diese wirst du nun mit der Methode "Gruppenpuzzle" untersuchen.

Jede der folgenden Aufgabenstellungen (6, 7 und 8) wird von ein oder zwei Gruppen bearbeitet. Jedes Gruppenmitglied muss in der Lage sein, das Wissen weiterzugeben.
Überlegt gemeinsam, welche Informationen am wichtigsten sind und unbedingt in euren Mitschriften stehen sollten.

Aufgabe 6

Im Applet ist der Graph der Wurzelfunktion $f:x \rightarrow a \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ dargestellt.
Variiere mit dem Schieberegler den Wert von $a$ .

Beschreibe, wie sich der Graph der Wurzelfunktion $x \rightarrow \sqrt x$ ändert für

$a = -1$
$0 < a < 1$
$1 < a$
$a < 0$

Wie wirkt sich die Änderung des Parameters $a$ auf die Definitions- und Wertemenge aus?

Aufgabe 7

Du betrachstest die Funktion $f: x \rightarrow a \sqrt x + b$ . Im folgenden Applet kannst du mit den Schiebereglern die Werte für $a$ und $b$ verändern.
Anfangs ist $a = 1$ und $b = 0$ . Es ist der Graph der Quadratwurzelfunktion dargestellt.

1. Variiere $a$ . Was stellst du fest?
Wie ändern sich die Definitionsmenge $D$ und die Wertemenge $W$ ?
2. Stelle wieder $a = 1$ ein. Was passiert, wenn du den Wert von $b$ änderst?
Wie ändern sich die Definitionsmenge $D$ und die Wertemenge $W$ der Funktion.

3. Variiere nun a und b gleichzeitig und beobachte was passiert.
4. Gib die Definitionsmenge $D$ und die Wertemenge $W$ der Funktion $f: x \rightarrow a \sqrt x + b$ an.

Aufgabe 8

Du betrachstest die Funktion $f: x \rightarrow \sqrt{ax + b}$ . Im folgenden Applet kannst du mit den Schiebereglern die Werte für $a$ und $b$ verändern.
Anfangs ist $a = 1$ und $b = 0$ . Es ist der Graph der Quadratwurzelfunktion dargestellt.

1. Was passiert, wenn du den Wert von $b$ änderst? Unterscheide $b > 0$ und $b < 0$ . Gib die Nullstellen an!
Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion.
2. Stelle wieder $b = 0$ ein. Variiere nun $a$ . Was stellst du fest?
Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion.
3. Variiere nun a und b gleichzeitig und beachte was passiert.
4. Wo ist die Nullstelle der Funktion $f: x \rightarrow \sqrt{ax + b}$ ?
5. Gib die Definitionsmenge der Funktion $f: x \rightarrow \sqrt{ax + b}$ an.

Mischgruppen
Jede Mischgruppe besteht aus mindestens einer Expertin bzw. einem Experten zu den obigen drei Aufgaben. Die Expertinnen und Experten fassen das Wesentliche für die anderen zusammen. Gemeinsam werden anschließend die folgenden drei Aufgaben gelöst.

Aufgabe 9

Skizziere und vergleiche die Graphen folgender Funktionen! Gib jeweils den Definitions- und Wertebereich an!
a) $f(x) = \sqrt{x+2}$
b) $g(x) = \sqrt x + 2$
c) $h(x) = \sqrt{x-2}$
d) $k(x)= 2\sqrt{x}$
e) $l(x) = \sqrt x - 2$
f) $m(x) = -\frac{1}{2}\sqrt{x}$

Aufgabe 10

Es ist die Funktion $f: x \rightarrow \sqrt{25-x^2}$ gegeben.

Bestimme die Definitionsmenge.
Zeichne den Graphen.
Wie kann man den Graphen noch bezeichnen?
Bonus: Zeige, dass alle Punkte auf dem Graphen vom Ursprung den gleichen Abstand haben.

Aufgabe 11

a) Löse dieses Quiz.
b) Öffne diese Webseite.
Wähle Niveau 2 und finde zum gegebenen Funktionsgraph den passenden Funktionsterm.
Hinweis zur Schreibweise: Schreibe für $\sqrt x$ sqrt(x).

Präsentation der Ergebnisse - Staffellauf
Präsentiert nun eure Ergebnisse zu den Aufgaben 9 und 10 aus der Mischgruppe in Form eines Staffellaufes.
D.h.: Jede Teilaufgabe wird von einem/einer Schüler/in im Plenum vorgestellt.

Aufgabe 5: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Graphen von f und g sind symmetrisch zur Gerade y = x (1. Mediane).

Aufgabe 6: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Für $a = -1$ wird der Graph der Wurzelfunktion $x \rightarrow \sqrt x$ an der x-Achse gespiegelt.
Für $0 < a < 1$ wird der Graph der Wurzelfunktion $x \rightarrow \sqrt x$ in y-Richtung gestaucht.
Für $1 < a$ wir der Graph der Wurzelfunktion $x \rightarrow \sqrt x$ in y-Richtung gestreckt.
Für negative $a$ wird der Graph von 2. oder 3. an der y-Achse gespiegelt.

Die Definitionsmenge bleibt $R^+_0$ .

Für $a > 0$ ist die Wertemenge $R^+_0$ , für $a = 0$ ist sie {0} und für $a < 0$ $R^-_0$

Aufgabe 7: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Wie in Aufgabe 6!
2. Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um b in Richtung der y-Achse verschoben.
Es ist $D = R^+_0$ und $W = [b; \infty [$

3. $a$ bewirkt eine Stauchung für $0 < a < 1$ und eine Streckung für $a > 1$ .
$b$ bewirkt, dass der Graph der Funktion mit dem Funktionsterm $a \sqrt x$ um b in Richtung der y-Achse verschoben wird.
Ist a negativ, so wird der Graph an der waagrechten Geraden $y = b$ gespiegelt.
4. $D = R^+_0$ und $W = [b; \infty[$ für $a > 0$ und $W = ]-\infty;b]$ für $a < 0$

Aufgabe 8: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Für $b > 0$ wird der Graph der Wurzelfunktion entlang der x-Achse nach links verschoben.
Für $b < 0$ wird der Graph der Wurzelfunktion entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
Die Nullstelle tritt bei $x = -b$ auf.
$D = [-b;\infty[$ , Wertemenge: $R^+_0$

2. Für $0 < a < 1$ wird der Graph der Wurzelfunktion in y-Richtung gestaucht.
Für $a > 1$ wird der Graph in y-Richtung gestreckt.
Ist $a < 0$ so wird der Graph mit $|a|$ an der y-Achse gespiegelt.
Für a > 0 ist $D = R^+_0$ , für a < 0 ist $D = R^-_0$
Wertemenge: $R^+_0$

4. $x = -\frac{b}{a}$

5. Ist $a > 0$ dann ist $D = [-\frac{b}{a};\infty[$ und ist $a < 0$ , dann ist $D = ]-\infty;-\frac{b}{a}]$

Aufgabe 9: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $f$ : Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der x-Achse nach links verschoben.
b) $g$ : Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der y-Achse nach oben verschoben.
c) $h$ : Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
d) $k$ : Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um den Faktor 2 in y-Richtung gestreckt.
e) $l$ : Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der y-Achse nach unten verschoben.

f) $k$ : Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um den Faktor 2 in y-Richtung gestaucht und dann an der x-Achse gespiegelt.

Aufgabe 10: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$D = [-5;5]$
Halbkreis
Für einen Punkt P(x;y) auf dem Graphen gilt: $x^2 + y^2 = x^2 + (25 - x^2) = 25$ unabhängig von x. Also hat jeder Punkt auf dem Graphen den Abstand 5 vom Ursprung.

Aufgabe 11:

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 . Was passiert, wenn du den Wert von <math>b</math> änderst? Unterscheide <math> b > 0 </math> und <math> b < 0</math>. Gib die Nullstellen an! <br>
-Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion.
+Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion.<br>
-. Stelle wieder <math> b = 0</math> ein. Variiere nun <math>a</math>. Was stellst du fest? Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion.
+. Stelle wieder <math> b = 0</math> ein. Variiere nun <math>a</math>. Was stellst du fest? <br>
-. Variiere nun a und b gleichzeitig und beachte was passiert.
+Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion.<br>
-. Wo ist die Nullstelle der Funktion <math>f: x \rightarrow \sqrt{ax + b} </math>?
+. Variiere nun a und b gleichzeitig und beachte was passiert.<br>
+. Wo ist die Nullstelle der Funktion <math>f: x \rightarrow \sqrt{ax + b} </math>?<br>
 . Gib die Definitionsmenge der Funktion <math>f: x \rightarrow \sqrt{ax + b} </math> an.
 }}
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 '''Mischgruppen'''
-<br>Jede Mischgruppe besteht aus mindestens einer Expertin bzw. einem Experten zu den obigen drei Aufgaben. Die Expertinnen und Experten fassen das Wesentliche für die anderen zusammen. Gemeinsam werden anschließend die folgenden drei Aufgaben gelöst.
+<br>Jede Mischgruppe besteht aus mindestens einer Expertin bzw. einem Experten zu den obigen drei Aufgaben. Die Expertinnen und Experten fassen das Wesentliche für die anderen zusammen. Gemeinsam werden anschließend die folgenden drei Aufgaben gelöst.<br>
-<br>
 {{Arbeiten|
 NUMMER=9| ARBEIT=
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 b) <math>g(x) = \sqrt x + 2</math><br>
 c) <math>h(x) = \sqrt{x-2}</math><br>
-d) <math>k(x)=2\sqrt{x}</math> <br>
+d) <math>k(x)= 2\sqrt{x}</math> <br>
 e) <math>l(x) = \sqrt x - 2</math><br>
-f) <math>m(x) =  -2\sqrt{x}</math><br>
+f) <math>m(x) =  -\frac{1}{2}\sqrt{x}</math><br>
 }}
-{{Lösung versteckt|
-[[Datei:Wf_versch.jpg|400px]]<br>
-<math>f</math>: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der x-Achse nach links verschoben.<br>
-<math>g</math>: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der y-Achse nach oben verschoben.<br>
-<math>h</math>: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der x-Achse nach rechts verschoben.<br>
-<math>k</math>: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der y-Achse nach unten verschoben.<br>
-}}
@@ Zeile 100: / Zeile 90: @@
 # Wie kann man den Graphen noch bezeichnen?
 # '''Bonus:''' Zeige, dass alle Punkte auf dem Graphen vom Ursprung den gleichen Abstand haben.
-}}
-{{Lösung versteckt|
-# <math>D = [-5;5]</math>
-# [[Datei:Halbkreis.jpg|300px]]
-# Halbkreis
-# Für einen Punkt P(x;y) auf dem Graphen gilt: <math> x^2 + y^2 = x^2 + (25 - x^2) = 25</math> unabhängig von x. Also hat jeder Punkt auf dem Graphen den Abstand 5 vom Ursprung.
 }}
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 }}
 <br>
 '''Präsentation der Ergebnisse - Staffellauf'''
 <br>Präsentiert nun eure Ergebnisse zu den Aufgaben 9 und 10 aus der Mischgruppe in Form eines Staffellaufes.
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 . <math>x = -\frac{b}{a}</math>
-. Ist <math> a > 0</math> dann ist <math>D = [-\frac{b}{a};\infty[ </math> und ist <math> a < 0</math>, dann ist <math>D = ]-\infty;-\frac{b}{a}] </math>
+. Ist <math> a > 0</math> dann ist <math>D = [-\frac{b}{a};\infty[ </math> und ist <math> a < 0</math>, dann ist <math>D = ]-\infty;-\frac{b}{a}] </math>}}
-}}
+Aufgabe 9: {{Lösung versteckt|
+[[Datei:Wf_versch.jpg|400px]]<br>
+a) <math>f</math>: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der x-Achse nach links verschoben.<br>
+b) <math>g</math>: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der y-Achse nach oben verschoben.<br>
+c) <math>h</math>: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der x-Achse nach rechts verschoben.<br>
+d) <math>k</math>: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um den Faktor 2 in y-Richtung gestreckt.<br>
+e) <math>l</math>: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der y-Achse nach unten verschoben.<br>
+f) <math>k</math>: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um den Faktor 2 in y-Richtung gestaucht und dann an der x-Achse gespiegelt.}}
-Aufgabe 9:
+Aufgabe 10: {{Lösung versteckt|
+# <math>D = [-5;5]</math>
-Aufgabe 10:
+# [[Datei:Halbkreis.jpg|300px]]
+# Halbkreis
+# Für einen Punkt P(x;y) auf dem Graphen gilt: <math> x^2 + y^2 = x^2 + (25 - x^2) = 25</math> unabhängig von x. Also hat jeder Punkt auf dem Graphen den Abstand 5 vom Ursprung.
+}}
 Aufgabe 11:
 ----
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