Quadratische Funktionen 2 - Allgemeine quadratische Funktion

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Allgemeine quadratische Funktion mit den Parametern a, b und c

Du hast bisher kennengelernt, dass du eine quadratische Funktion in der Scheitelform $f: x \rightarrow a(x - d)^2 + e$ schreiben kannst und in dieser Darstellung erkennst du die Scheitelkoordinaten S(d;e).

Oft werden quadratische Funktionen in der der Form $f: x \rightarrow ax^2 + bx +c$ geschrieben. Auf dieser Seite soll nun der Zusammenhang zwischen beiden Darstellungen gewonnen und der Einfluss der Parameter a, b und c untersucht werden.

Merke: Die allgemeine quadratische Funktion lautet  $f: x\rightarrow ax^2 + bx + c$ . Dabei sind $\ a, b, c$ Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  $\ a,d,e \in \R$  und  $a\neq 0$ .

Scheitelform in allgemeine Form

Du kennst die binomische Formeln. Damit kannst du $(x - d)^2$ in $x^2 - 2dx + d^2$ überführen. Es ist dann

$f(x) = a(x - d)^2 + e = a(x^2 - 2dx + d^2) + e = ax^2 - 2adx + ad^2 + e$

Vergleicht man diesen Term mit $f(x) = ax^2 + bx +c$, dann ist $b = -2ad$ und $c = ad^2 +e$.

Allgemeine Form in Scheitelform

Umgekehrt kann man den Term $f(x) = ax^2 + bx +c$ mittels quadratischer Ergänzung in den Term $a(x - d)^2 + e$ überführen. Es ist dann $d = -\frac{b}{2a}$ und $e = c - \frac{b^2}{4a}$

Aufgabe 1. Forme in die allgemeine Form um $2(x - 3)^2 + 1$ $\frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2$ 2. Forme in die Scheitelform um $x^2 + 4x - 2$ $2x^2 + 3x + 2$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1.

$2x^2 - 12x + 19$

$\frac{1}{2}x^2 - 2x$

2.

$(x + 2)^2 - 6$

$2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{7}{8}$

Einfluss der Parameter a, b, c

Du kannst hier nun den Einfluss der Parameter a, b und c in der Funktion $f$ mit $f(x) = ax^2 + bx + c$ untersuchen.

Hefteintrag: Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat, damit du eine Tabelle mit drei Spalten für den Einfluss von $\ a,b$ und $\ c$ anlegen kannst. Formuliere eine Überschrift und übernimm alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.

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Einfluss von a Einfluss von b Einfluss von c Untersuche hier den Einfluss von $\ a$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \ a x^2$. Untersuche hier den Einfluss von $\ b$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \ x^2 + bx$. Untersuche hier den Einfluss von $\ c$ auf die Graphen der Funktionen $x \rightarrow \ x^2 + c$.

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig. Merke: Die allgemeine quadratische Funktion lautet  $x\rightarrow ax^2 + bx + c$ . Dabei sind $\ a,b,c,d$ Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  $\ a,b,c \in \R$  und  $a,b\neq 0$ .

Der allgemeinste Fall einer quadratischen Funktion hat also die Funktionsgleichung: f(x)=ax2+bx+c

Aufgabe 1  Experimentiere mit dem Applet und erläutere, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen haben. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a bestimmt die Weite und die Öffnung nach oben und unten b verschiebt den Scheitel c verschiebt den Scheitel für c > 0 nach oben und für c < 0 nach unten

Aufgabe 2  Stelle die drei Schieberegler so ein, dass der schwarze Graph genau auf dem roten grünen blauen Graphen liegt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a = 0,5; b = 2,4; c = - 1 a = - 1; b = -3; c = 2 a = 0,5; b = - 2,4; c = - 1

Aufgabe 3  Untersuche nun die Funktionen f mit f(x) = 1,5x2 + 9x + 11,5 und g mit g(x) = 0,5x2 + x + 2,5 Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen Gf und Gg in ein gemeinsames Koordinatensystem. Gib die Koordinaten der beiden Scheitel Sf und Sg an. Vergleiche die beiden Parabeln mit der Normalparabel. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Scheitel von f: S(-3/-2); Scheitel von g: S(1/3) Parabel von f: Enger als Normalparabel, nach oben geöffnet, verschoben Parabel von g: Weiter als Normalparabel, nach unten geöffnet, verschoben

Die allgemeine quadratische Funktion in der Anwendung

Der Term einer allgemeinen quadratischen Funktion enthält einen reinquadratischen Teil (ax²), einen linearen Teil (bx) und einen konstanten Teil (c).

Beim Bremsen eines Pkws ist der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem zurückgelegten Weg durch eine quadratische Funktion der Form f(x) = ax² + bx beschrieben, wobei der reinquadratische Teil den Bremsweg und der lineare Teil den Reaktionsweg bestimmt.

Aufgabe 4  Welche Bedeutung hat der konstante Teil des Funktionsterms im Anwendungsbeispiel "Abbremsen eines Pkw"? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Der lineare Teil gibt den Weg an, den das Fahrzeug zurücklegt, bevor die Gefahrensituation eintritt. Beispiel: Ein Fahrzeug biegt in eine Straße ein. Nach 30 m sieht der Fahrer, dass vor ihm ein Ball auf die Straße rollt und bremst. Wieviel Meter von der Kreuzung entfernt kommt das Fahrzeug zum Stehen? Entfernung zur Kreuzung: s = a·v2 + b·v + c mit c = 30m

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Als nächstes kannst du prüfen, ob du alles verstanden hast.   Hier geht es weiter.