Diskret - kontinuierlich

Willkommen zum Lernpfad

Diskret - kontinuierlich

erstellt von

Matthias Kittel und Walter Wegscheider

im Rahmen eines internationalen Projektes von
Medienvielfalt im Mathematikunterricht
(Stand August 2011)

Du erwirbst / stärkst in diesem Lernpfad folgende Kompetenzen  [Anzeigen][Verstecken]

Das kennst Du schon

• Darstellungsformen von Funktionen
• Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.)

Das lernst Du

• Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen
• Wie beschreibt man kontinuierliche dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differentialgleichungen - Visualisierung und Lösungsansätze mit Hilfe verschiedener Technologieunterstützungen an verschiedenen Beispiele

Du stärkst diese Kompetenzen:

• Darstellen, Modellieren (Heronverfahren, Radioaktiver Zerfall, Räuber-Beute-Modell, Rekursionsmodelle und Differenzengleichungen Differentialgleichung)
• Rechnen, Operieren (Radioaktiver Zerfall - analytische Herleitung sowie weiterführende Aufgaben, Herleitung der logistischen Gleichung, Lösen von Differentialgleichungen)
• Interpretieren (exponentielles Wachstum - Lebensmittelkontrolle, exponentielle Abnahme - radioaktiver Zerfall)
• Argumentieren, Begründen (Unterschied zwischen Differenzen- und Differentialgleichung)n
• Problemlösen (Erkennen der Einsatzgebiete von Differenzen- und Differentialgleichung)

Informationen zum Einsatz des Lernpfads im Unterricht: Didaktischer Kommentar

Rekursive Beschreibung von Veränderungen

Unter rekursiven Verfahren kannst Du Dir Verfahren vorstellen, die errechnete Ergebnisse einer Formel wieder als Anfangswerte in die Formel einsetzen. Rekursion ist lateinisch und bedeutet zurücklaufen.

Rekursive Verfahren sind im Allgemeinen schrittweise (iterative) Verfahren. Das beudeutet, dass Du kein Ergebnis einfach ausrechnest, sonder Dich (langsam) an ein Ergebnis herantastest. Du näherst Dich Schritt für Schritt einem (richtigen) Ergebnis. Die Ergebnisse aus der Rekursionsformel sind die schrittweisen Zwischenergebnisse, die zum (korrekten) Endergebnis führen.

Da Differentialgleichungen schwierig zu lösen sind, ist es oft einfacher diese Art von Gleichungen in eine Differenzengleichung umzuwandeln und dann diese zu lösen. Differenzengleichungen sind rekursive Verfahren und können entsprechend gelöst werden.

Differenzengleichung

Begriffsbildung

Eine Differenzengleichung ist eine Möglichkeit, dynamische Systeme abzubilden. Dabei wird eine Folge von diskreten (einzeln betrachtbaren, abzählbaren) Ereignissen rekursiv definiert. Jedes Folgenglied ist daher eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder.

Form: $\,x_{n} = f(x_{n-1},x_{n-2},...,x_{1},x_{0})$ für natürliche Zahlen $\,n$.

Die Veränderung wird durch den Differenzenquotienten angegeben: $\frac{\Delta y}{\Delta n}$ mit $n \in N$

Dabei entspricht:
$\Delta y_{n} \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}$ und damit beispielsweise $\Delta y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}-y_{n}=5 \Longleftrightarrow y_{n+1}=y_{n}+5$

Weiterführende Links:

• Differenzengleichungen, Josef Leydold, Differenzengleichungen, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung der WU Wien, 1997
• Systemdynamik, Peter Zierler, Systemdynamik - Querverbindung zwischen Mathematik und Informatik, NOEBIS

Software zur dynamischen Modellierung:

• DYNASYS
• MODSIM

Von der diskreten zur kontinuierlichen Veränderung

Wie Du Dir sicher vorstellen kannst, gibt es in der Realität kaum diskrete, das heißt abzählbare, Ereignisse. Die untersuchten Vorgänge laufen vielmehr kontinuierlich (stetig - ohne Sprünge) ab. Diese Kontinuität kannst Du erreichen, indem Du den Zeitschritt bei Differenzengleichungen immer kleiner machst oder die dem Problem zugeordnete Differentialgleichung analytisch (durch Ausrechnen löst). Zu diesem Thema sind hier fünf Gebiete für Dich aufgelistet, in denen auf Dich Aufgaben, Übungen und Beispiele warten.

Themengebiete

Unter folgenden vier Themengebieten kannst Du mehr über die Verwendung und den Einsatz von rekursiven Verfahren lernen und mittels Aufgaben, Beispielen und Erläuterungen Dein Wissen vertiefen.

Weitere Beispiele

• Bernd Huhn, Sonja Woltzen, Lehrer-Online, Fall mit Reibung - Ein Sprung aus 40.000m Höhe, 2005
• Josef Lechner, Freier Fall mit Luftwiderstand, ACDCA 1998

Differentialgleichungen

Begriffsbildung

Als (gewöhnliche) DGLG wird eine Gleichung bezeichnet, die neben einer Unbekannten $\,x$ auch deren Ableitung(en) $\,x'$ ($\,x''$, ...) enthält. Gelöst wird eine DGLG mittels Integralrechnung.

Die Lösung einer DGLG ist nicht wie bei einer herkömmlichen Gleichung eine Zahl, sondern eine Funktion, genauer eine Funktionenschar, die aus unendlich vielen Funktionen besteht. Da beim unbestimmten Integrieren immer eine Integrationskonstante auftritt, muss eine Zusatzinformation (Anfangsbedingung) gegeben sein, um die Konstante zu bestimmen.

Erst durch die Anfangsbedingung, die einem Punkt auf dem Graphen der Lösungsfunktion entspricht, kann die Lösungsfunktion exakt bestimmt werden. Die Lösung ist nun eine spezielle Funktion!

DGLG können in allen Bereichen des Lebens angetroffen werden, besonders in den Naturwissenschaften oder der Wirtschaft und dem Sport. In allen Zusammenhängen, bei denenen es um Veränderungen geht, kommen DGLG zur Anwendung.

Eine Übersicht über die Klassifikation von DGLG findet man unter Einteilung von Differentialgleichungen, T. Wolf, Fachhochschule Landshut (pdf-Datei, 14 kB)

Links:

• Differentialgleichungen, Josef Leydold, Abt. f. angewandte Statistik und Datenverarbeitung, 1997
• http://www.acdca.ac.at/material/kl8/diffequ.htm, Josef Böhm, Differentialgleichungen mit CAS, ACDCA 2004

Ausblick

Oftmals ist bei realitätsnahen Modellen nicht möglich die gegebenen Differentialgleichung(en) exakt zu lösen. Aus diesem Grund ist es zielführend manchmal Näherungsverfahren zu verwenden.

Näherungsverfahren

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