Wurzelfunktion Umkehrfunktion

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Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt $A = a^2$.
Man weiß von einem Quadrat, dass es den Flächeninhalt 9 FE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.
Es ist $a = sqrt A$

Wie du in diesem Beispeil gesehen hast, erhält man aus dem Flächeninhalt A eines Quadrats die zugehörige Seitenlänge a des Quadrats.

Merke: Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung $f: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion. Sie entsteht durch Umkehrung der Fragestellung: Welchen Flächeninhalt A hat ein Quadrat mit Seitenlänge a? Diese Fragestellung wird durch die Funktion $g:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ beschrieben. Man nennt f die Umkehrfunktion zur Funktion g.

Aufgabe 1  In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen $f: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ und $g:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ dargestellt. Was fällt dir auf?

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Die Graphen sind zueinander achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. Quadranten

Aufgabe 2  Bearbeite diese Seite und beantworte dann: Wie erhält man für $x \in R^+_0$ graphisch rechnerisch von der Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$?

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1. Spiegeln an der Geraden $y = x$
2. In der Gleichung $y = x^n$ x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält $y = \sqrt[n]{x}$.
   

Da $x \in R^+_0$ ist, muss man nicht auf die Definitionsmenge aufpassen und diese eventuell einschränken.

Merke: Für jede natürliche Zahl $n$ ist die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ mit $x \in R^+_0$ umkehrbar. Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$.

Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für $x \in R$ definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für $x \in R$ umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seite:
Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion