Wurzelfunktion Umkehrfunktion

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Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt $A = a^2$.
Man weiß von einem Quadrat, dass es den Flächeninhalt 9 FE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.
Es ist $a = sqrt A$

Ausgangspunkt war die Gleichung $A = a^2$. Indem man die Gleichung nach $a$ auflöst erhält man sozusagen die Umkehrung.

Merke Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl $x$ ihr Quadrat $x^2$ zu, so erhält man die Quadratfunktion $f:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$. Macht man die Zuordnung umgekehrt und ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung $g: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion. Man erhält diese Funktion durch Umkehrung der Fragestellung: Welche Seitenlänge a hat ein Quadrat mit Flächeninhalt A? Man nennt $g$ die Umkehrfunktion zur Funktion $f$ und schreibt statt $g$ auch $f^{-1}$. Die Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion $f:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$.

Aufgabe 1  In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen $f:\rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ und $g: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ dargestellt. Was fällt dir auf?

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Die Graphen sind zueinander achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. Quadranten

Aufgabe 2  Bearbeite diese Seite und beantworte dann: Wie erhält man für $x \in R^+_0$ graphisch rechnerisch von der Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ die Umkehrfunktion $f^{-1}$?

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1. Spiegeln an der Geraden $y = x$
2. In der Gleichung $y = x^n$ x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält $y = \sqrt[n]{x}$.
   Die Umkehrfunktion lautet $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$.

Da $x \in R^+_0$ ist, muss man nicht auf die Definitionsmenge aufpassen und diese eventuell einschränken.

Merke Für jede natürliche Zahl $n$ ist die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ mit $x \in R^+_0$ umkehrbar. Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$. Sie heißt n-te Wurzelfunktion. Die n-te Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ kann man auch als Potenzfunktion mit Stammbruchexponenten betrachten. Es ist dann $f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}}$ mit $x \in R^+_0$ und $n \in N$.

Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für $x \in R$ definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für $x \in R^-$ umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seiten:

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion