Der Funktionsbegriff: Unterschied zwischen den Versionen

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In den bisherigen Aufgaben ist es darum gegangen, Abhängigkeiten
 
In den bisherigen Aufgaben ist es darum gegangen, Abhängigkeiten
  
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* in Tabellenform wiederzugeben
 
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Was haben das Handybeispiel und das Schachtelbeispiel gemeinsam? In beiden Fällen haben wir Vorschriften betrachtet, die es gestatten,<br>
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'''Was haben das Handybeispiel und das Schachtelbeispiel gemeinsam?'''
  
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einem gegebenen Objekt (z.B. die Länge der Quadratseite x) <math> \right</math> ein anderes davon abhängiges Objekt (z.B. das Schachtelvolumen V(x))  
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In beiden Fällen haben wir Vorschriften betrachtet, die es gestatten, einem gegebenen Objekt, der unabhängigen Variablen (z.B. die Länge der Quadratseite x), ein anderes davon abhängiges Objekt (z.B. das Schachtelvolumen V(x))
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zuzuordnen. Diese Idee der Zuordnung ist in der Mathematik sehr wichtig. Dabei können wir an ganz unterschiedliche Objekte (wie beispielsweise natürliche Zahlen oder reelle Zahlen) denken. <br>
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Diese Zuordnung wird oft durch <math> \rightarrow </math> ausgedrückt und man schreibt <math> x \rightarrow V(x)</math>.
  
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zuzuordnen. Diese Idee der Zuordnung ist in der Mathematik sehr wichtig. Dabei können wir an ganz unterschiedliche Objekte (wie beispielsweise natürliche Zahlen oder reelle Zahlen) denken.
 
  
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Wir wollen nun etwas genauer formulieren, wie die Idee der Zuordnung für die Mathematik nutzbar gemacht werden kann. Dazu müssen wir - wie es dem Genauigkeitsanspruch der Mathematik entspricht - für jede konkrete Zuordnung festlegen, um welche Objekte es sich dabei handelt. Wir fassen alle möglichen "gegebenen Objekte" in einer Menge A zusammen und stellen uns vor, dass alle möglichen "abhängigen Objekte" in einer Menge B liegen. So gelangen wir zur Definition des Funktionsbegriffs, wie er in der Mathematik seit mehr als 100 Jahren verwendet wird:
 
  
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{{Merke|'''Definition:''' <br>
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Finde in diesem [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_sek1_sek2/sites/hotpotatoes/08_variablen/variablen.htm Arbeitsblatt] die unabhängigen Variablen.
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Wir wollen nun etwas genauer formulieren, wie die Idee der Zuordnung für die Mathematik nutzbar gemacht werden kann. Dazu müssen wir für jede konkrete Zuordnung festlegen, um welche Objekte es sich dabei handelt. Wir fassen alle möglichen "gegebenen Objekte" in einer Menge A zusammen und stellen uns vor, dass alle möglichen "abhängigen Objekte" in einer Menge B liegen. So gelangen wir zur Definition des Funktionsbegriffs, wie er in der Mathematik seit mehr als 100 Jahren verwendet wird:
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{{Merksatz|MERK=
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'''Definition:''' <br>
 
Seien A und B zwei Mengen. Eine Funktion <math> f</math> von <math>A</math> nach <math>B</math> ist eine Vorschrift, die jedem Element der Menge <math>A</math> ein (d.h. genau ein) Element der Menge <math>B</math> zuweist.}}
 
Seien A und B zwei Mengen. Eine Funktion <math> f</math> von <math>A</math> nach <math>B</math> ist eine Vorschrift, die jedem Element der Menge <math>A</math> ein (d.h. genau ein) Element der Menge <math>B</math> zuweist.}}
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'''Bezeichnungen:'''
 
'''Bezeichnungen:'''
  
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Die Menge <math>A</math> nennen wir Definitionsmenge, die Menge <math>B</math> heißt Zielmenge.<br>
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Die Menge <math>A</math> nennen wir '''Definitionsmenge''', die Menge <math>B</math> heißt '''Zielmenge'''.<br>
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Wie andere mathematische Objekte auch werden Funktionen mit Symbolen (in der Regel mit Buchstaben) bezeichnet. Bezeichnen wir eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math> mit dem Buchstaben <math>f</math>, so schreiben wir dafür auch
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Wie andere mathematische Objekte auch werden Funktionen mit Symbolen (in der Regel mit Buchstaben) bezeichnet. Oft verwendet man <math>f, g, h, ...</math>. Bezeichnen wir eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math> mit dem Buchstaben <math>f</math>, so schreiben wir dafür auch
  
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     <math>f : A \right B</math>      gesprochen: "<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math>"
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     <math>f : A \rightarrow B</math>      gesprochen: "<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math>"
  
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Wir sagen auch: Jedes <math>x \in A</math> wird von der Funktion <math>f</math> auf ein Element von <math>B</math> abgebildet. Dieses Element von <math>B</math> schreiben wir als <math>f(x)</math>.
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Wir sagen auch: Jedes <math>x \in A</math> wird von der Funktion <math>f</math> auf ein Element von <math>y\in B</math> abgebildet. Dieses Element <math>y</math> von <math>B</math> schreiben wir auch als <math>f(x)</math>.
  
 
Funktionen werden manchmal auch Abbildungen genannt.<br>
 
Funktionen werden manchmal auch Abbildungen genannt.<br>
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Lässt sich durch einen Term (d.h. durch eine Formel) angeben, wie <math>f(x)</math> aus <math>x</math> ermittelt wird, so sprechen wir von einer "Termdarstellung der Funktion <math>f</math>". So ist beispielsweise durch die Termdarstellung
 
  
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  <math>f(x) = x^2</math>
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Lässt sich durch einen Term (d.h. durch eine Formel) angeben, wie <math>f(x)</math> aus <math>x</math> ermittelt wird, so sprechen wir von einer '''Termdarstellung der Funktion <math>f</math>'''. So ist beispielsweise durch die Termdarstellung
  
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jene Funktion definiert, die jedem Element der Definitionsmenge sein Quadrat zuordnet. Die Aussage <math>f(x) = x^2</math> wird auch als Funktionsgleichung bezeichnet. Eine andere Schreibweise dafür ist
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  <math>f(x) = x^2</math>
  
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  <math>f : x \right x^2</math>.
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jene Funktion definiert, die jedem Element der Definitionsmenge sein Quadrat zuordnet. Die Aussage <math>f(x) = x^2</math> wird auch als Funktionsgleichung bezeichnet. Eine Schreibweise für diese Funktion ist
  
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Eine Termdarstellung ist eine durch einen Term ausgedrückte Zuordnungsvorschrift.
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  <math>f : x \rightarrow x^2</math>.
  
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Die meisten elektronischen Rechenwerkzeuge gestatten es, eine Funktion, d.h. eine Zuordnungsvorschrift einzugeben, um sie später bei Bedarf anwenden zu können.
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Viele elektronische Rechenwerkzeuge gestatten es, eine Funktion, d.h. eine Zuordnungsvorschrift einzugeben, um sie später bei Bedarf anwenden zu können.
  
 
'''Bemerkung:'''<br>
 
'''Bemerkung:'''<br>
 
In vielen Anwendung der Mathematik auf reale Situationen kommen Abhängigkeiten vor, die durch Formeln beschrieben werden. Beim Aufstellen eines mathematisch strengen Modells einer solchen Situation ist es oft nötig, von Formeln zu Funktionen überzugehen.
 
In vielen Anwendung der Mathematik auf reale Situationen kommen Abhängigkeiten vor, die durch Formeln beschrieben werden. Beim Aufstellen eines mathematisch strengen Modells einer solchen Situation ist es oft nötig, von Formeln zu Funktionen überzugehen.
  
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Diese [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/2/2a/Abhaengigkeiten.pdf Bemerkungen zum Funktionsbegriff] stellen dar worauf es dabei ankommt. Sie werden dir bei den nachfolgenden Aufgaben helfen.
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Diese [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/2/2a/Abhaengigkeiten.pdf Bemerkungen zum Funktionsbegriff] stellen dar, worauf es dabei ankommt. Sie werden dir bei den nachfolgenden Aufgaben helfen.
  
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{{Arbeiten|NUMMER=1|
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{{Arbeiten|NUMMER=6|
 
ARBEIT=
 
ARBEIT=
 
In dieser Aufgabe sollst du den bereits bekannten Zusammenhang zwischen der Gesprächsdauer und der Höhe der Telefonrechnung als Funktion formulieren.<br>
 
In dieser Aufgabe sollst du den bereits bekannten Zusammenhang zwischen der Gesprächsdauer und der Höhe der Telefonrechnung als Funktion formulieren.<br>
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Die Höhe der Handyrechnung in Abhängigkeit von der Gesprächsdauer kann durch die Formel
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Die Höhe der Handyrechnung in Abhängigkeit von der Gesprächsdauer kann durch die Funktionsgleichung
  
 
<center><math>H(t) = 0,06 t + 15</math> </center>
 
<center><math>H(t) = 0,06 t + 15</math> </center>
  
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beschrieben werden.  
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beschrieben werden. Die unabhängige Variable ist in diesem Fall <math>t</math>.
  
 
# Welche Werte von <math>t</math> sind zulässig, welche nicht?  
 
# Welche Werte von <math>t</math> sind zulässig, welche nicht?  
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# Welche Möglichkeiten hast du, <math>H</math> im strengen mathematischen Sinn als Funktion <math>H: A \right B</math> zu definieren? Gib die Definitions- und Zielmenge an!  
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# Welche Möglichkeiten hast du, <math>H</math> im strengen mathematischen Sinn als Funktion <math>H: A \rightarrow B</math> zu definieren? Gib die Definitions- und Zielmenge an!  
 
# Gib die abhängige und die unabhängige Variable an!  
 
# Gib die abhängige und die unabhängige Variable an!  
 
# Gib die Funktionswerte für <math>t </math>= 0, 15, 43 und 167 an!  
 
# Gib die Funktionswerte für <math>t </math>= 0, 15, 43 und 167 an!  
 
# Für welche Argumente ergibt sich ein Funktionswert von 16,5; 18,84; 26,1?  
 
# Für welche Argumente ergibt sich ein Funktionswert von 16,5; 18,84; 26,1?  
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# Gib die Funktion H an.
 
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{{Lösung versteckt|
 
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# <math>t</math> kann Werte <math> \ge 0</math> annehmen.
 
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# Definitionsmenge ist <math>R^+</math>, Zielmenge ist <math>R</math>.
 
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# Die unabhängige Variabel ist <math>t</math>, die abhängige Variable <math>H(t)</math>.
 
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# <math> H(0)=15; H(15)=15,9; H(43)=17,58; H(167)=25,02</math>
 
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In dieser Aufgabe sollst du einen bereits bekannten Zusammenhang zwischen geometrischen Größen als Funktion formulieren.<br>
 
In dieser Aufgabe sollst du einen bereits bekannten Zusammenhang zwischen geometrischen Größen als Funktion formulieren.<br>
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# Welche Werte von x sind im Rahmen dieses Beispiels (sinnvollerweise) zulässig, welche nicht?  
 
# Welche Werte von x sind im Rahmen dieses Beispiels (sinnvollerweise) zulässig, welche nicht?  
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# Welche Möglichkeiten hast du, V im strengen mathematischen Sinn als Funktion <math>V: A \right B</math> zu definieren? (Tipp: Setze die Werte x = 4, x = 10 und x = -1 ein und berechne jeweils <math>V(x)</math>. Was bedeuten die Resultate?) Gib Definitions- und Zielmenge an!  
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# Welche Möglichkeiten hast du, V im strengen mathematischen Sinn als Funktion <math>V: A \rightarrow B</math> zu definieren? (Tipp: Setze die Werte x = 4, x = 10 und x = -1 ein und berechne jeweils <math>V(x)</math>. Was bedeuten die Resultate?) Gib Definitions- und Zielmenge an!  
 
# Gib die Funktionswerte für x = 0,5; 1,3 und 2,4 an!  
 
# Gib die Funktionswerte für x = 0,5; 1,3 und 2,4 an!  
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# Für welche Argumente ergibt sich ein Funktionswert von 6,272; 12,544 bzw. 0,972?
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# '''Bonus''': Für welche Argumente ergibt sich ein Funktionswert von 6,272; 12,544 bzw. 0,972? Tipp: Probiere aus oder verwende die Wertetabelle (Aufgabe 4).
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# Gib die Funktion V an.
 
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{{Lösung versteckt|
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{{Arbeiten|NUMMER=8|
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ARBEIT=
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Ordne in diesem [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_sek1_sek2/sites/hotpotatoes/10_funktion1/funktion_b.htm Arbeitsblatt] die richtigen Begriffe zu.
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'''Lösungen'''
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Aufgabe 6: {{Lösung versteckt|
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# <math>t</math> kann Werte <math> \ge 0</math> annehmen.
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# Definitionsmenge ist <math>R^+</math>, Zielmenge ist <math>R</math>.
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# Die unabhängige Variabel ist <math>t</math>, die abhängige Variable <math>H(t)</math>.
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# <math> H(0)=15; H(15)=15,9; H(43)=17,58; H(167)=25,02</math>
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# <math> H(25)=16,5; H(64)=18,84; H(185)=26,1</math>
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# <math>H : t \rightarrow  0,06 t + 15</math>  mit <math>x \in R^+</math>}}
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Aufgabe 7: {{Lösung versteckt|
 
# <math>x</math> kann Werte <math> 0 \le x \le 3</math> annehmen.
 
# <math>x</math> kann Werte <math> 0 \le x \le 3</math> annehmen.
 
# Definitionsmenge ist <math>[0;3]</math>, Zielmenge ist <math>R</math>.
 
# Definitionsmenge ist <math>[0;3]</math>, Zielmenge ist <math>R</math>.
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# <math> V(0,5)=25; H(1,3)=15,028; H(2,4)=3,456</math>
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# <math> V(0,5)=12,5; V(1,3)=15,028; V(2,4)=3,456</math>
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# <math> H(0,2)=6,272; H(1,6)=12,544; H(2,7)=0,972</math>
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# <math> V(0,2)=6,272; V(1,6)=12,544; V(2,7)=0,972</math>
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# <math>V : x \rightarrow (6-2x)^2 x</math> mit <math> x \in ]0;3[</math><br>
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Bei 4. sind nur jeweils eine Lösung angegeben, die man etwa durch Erstellen einer Wertetabelle oder Ausprobieren erhalten kann. <br>
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Mit einem CAS erhältst du natürlich alle Lösungen. Diese schauen, wenn etwa Wurzel vorkommen "furchterschreckend" aus, sind sie aber nicht! Wurzeln sind dir noch nicht bekannt.<br>
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Du kannst [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/images/c/cc/Schachtel_cas.ggb diese Datei] herunterladen und mit [http://www.geogebra.org/trac/wiki/GeoGebraCAS GeoGebra-CAS] (oder [http://www.geogebra.org/webstart/4.2/geogebra-42.jnlp Webstart]) öffnen und damit die Berechnungen durchführen.<br>
 
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Der Graph einer Funktion ist dir schon bekannt. Wir werden ihn auf der nächsten Seite mathematisch exakt definieren.
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::::::'''<math>\rightarrow</math> [[Funktionen_Einstieg/Graphen|Der Funktionsgraph]]'''

Aktuelle Version vom 2. Dezember 2015, 11:11 Uhr

Zuordnungen und Wertetabelle - Der Funktionsbegriff - Der Funktionsgraph - Beispiele und Übungen

Der Funktionsbegriff

In den bisherigen Aufgaben ist es darum gegangen, Abhängigkeiten

  • durch eine Formel auszudrücken und
  • in Tabellenform wiederzugeben

Was haben das Handybeispiel und das Schachtelbeispiel gemeinsam?

In beiden Fällen haben wir Vorschriften betrachtet, die es gestatten, einem gegebenen Objekt, der unabhängigen Variablen (z.B. die Länge der Quadratseite x), ein anderes davon abhängiges Objekt (z.B. das Schachtelvolumen V(x)) zuzuordnen. Diese Idee der Zuordnung ist in der Mathematik sehr wichtig. Dabei können wir an ganz unterschiedliche Objekte (wie beispielsweise natürliche Zahlen oder reelle Zahlen) denken.
Diese Zuordnung wird oft durch \rightarrow ausgedrückt und man schreibt x \rightarrow V(x).


  Aufgabe 5  Stift.gif

Finde in diesem Arbeitsblatt die unabhängigen Variablen.



Wir wollen nun etwas genauer formulieren, wie die Idee der Zuordnung für die Mathematik nutzbar gemacht werden kann. Dazu müssen wir für jede konkrete Zuordnung festlegen, um welche Objekte es sich dabei handelt. Wir fassen alle möglichen "gegebenen Objekte" in einer Menge A zusammen und stellen uns vor, dass alle möglichen "abhängigen Objekte" in einer Menge B liegen. So gelangen wir zur Definition des Funktionsbegriffs, wie er in der Mathematik seit mehr als 100 Jahren verwendet wird:

Maehnrot.jpg
Merke:

Definition:
Seien A und B zwei Mengen. Eine Funktion f von A nach B ist eine Vorschrift, die jedem Element der Menge A ein (d.h. genau ein) Element der Menge B zuweist.


Bezeichnungen:

Die Menge A nennen wir Definitionsmenge, die Menge B heißt Zielmenge.
Wie andere mathematische Objekte auch werden Funktionen mit Symbolen (in der Regel mit Buchstaben) bezeichnet. Oft verwendet man f, g, h, .... Bezeichnen wir eine Funktion von A nach B mit dem Buchstaben f, so schreiben wir dafür auch 

   f : A \rightarrow B       gesprochen: "f ist eine Funktion von A nach B"

Wir sagen auch: Jedes x \in A wird von der Funktion f auf ein Element von y\in B abgebildet. Dieses Element y von B schreiben wir auch als f(x).

Funktionen werden manchmal auch Abbildungen genannt.

Lässt sich durch einen Term (d.h. durch eine Formel) angeben, wie f(x) aus x ermittelt wird, so sprechen wir von einer Termdarstellung der Funktion f. So ist beispielsweise durch die Termdarstellung 

  f(x) = x^2

jene Funktion definiert, die jedem Element der Definitionsmenge sein Quadrat zuordnet. Die Aussage f(x) = x^2 wird auch als Funktionsgleichung bezeichnet. Eine Schreibweise für diese Funktion ist 

  f : x \rightarrow x^2.

Viele elektronische Rechenwerkzeuge gestatten es, eine Funktion, d.h. eine Zuordnungsvorschrift einzugeben, um sie später bei Bedarf anwenden zu können.

Bemerkung:
In vielen Anwendung der Mathematik auf reale Situationen kommen Abhängigkeiten vor, die durch Formeln beschrieben werden. Beim Aufstellen eines mathematisch strengen Modells einer solchen Situation ist es oft nötig, von Formeln zu Funktionen überzugehen.

Diese Bemerkungen zum Funktionsbegriff stellen dar, worauf es dabei ankommt. Sie werden dir bei den nachfolgenden Aufgaben helfen.

  Aufgabe 6  Stift.gif

In dieser Aufgabe sollst du den bereits bekannten Zusammenhang zwischen der Gesprächsdauer und der Höhe der Telefonrechnung als Funktion formulieren.
Die Höhe der Handyrechnung in Abhängigkeit von der Gesprächsdauer kann durch die Funktionsgleichung

H(t) = 0,06 t + 15

beschrieben werden. Die unabhängige Variable ist in diesem Fall t.

  1. Welche Werte von t sind zulässig, welche nicht?
  2. Welche Möglichkeiten hast du, H im strengen mathematischen Sinn als Funktion H: A \rightarrow B zu definieren? Gib die Definitions- und Zielmenge an!
  3. Gib die abhängige und die unabhängige Variable an!
  4. Gib die Funktionswerte für t = 0, 15, 43 und 167 an!
  5. Für welche Argumente ergibt sich ein Funktionswert von 16,5; 18,84; 26,1?
  6. Gib die Funktion H an.



  Aufgabe 7  Stift.gif

In dieser Aufgabe sollst du einen bereits bekannten Zusammenhang zwischen geometrischen Größen als Funktion formulieren.
Im Schachtelbeispiel tritt die Formel

V(x) = (6-2x)^2 x

auf.

  1. Welche Werte von x sind im Rahmen dieses Beispiels (sinnvollerweise) zulässig, welche nicht?
  2. Welche Möglichkeiten hast du, V im strengen mathematischen Sinn als Funktion V: A \rightarrow B zu definieren? (Tipp: Setze die Werte x = 4, x = 10 und x = -1 ein und berechne jeweils V(x). Was bedeuten die Resultate?) Gib Definitions- und Zielmenge an!
  3. Gib die Funktionswerte für x = 0,5; 1,3 und 2,4 an!
  4. Bonus: Für welche Argumente ergibt sich ein Funktionswert von 6,272; 12,544 bzw. 0,972? Tipp: Probiere aus oder verwende die Wertetabelle (Aufgabe 4).
  5. Gib die Funktion V an.



  Aufgabe 8  Stift.gif

Ordne in diesem Arbeitsblatt die richtigen Begriffe zu.



Lösungen

Aufgabe 6:

  1. t kann Werte \ge 0 annehmen.
  2. Definitionsmenge ist R^+, Zielmenge ist R.
  3. Die unabhängige Variabel ist t, die abhängige Variable H(t).
  4. H(0)=15; H(15)=15,9; H(43)=17,58; H(167)=25,02
  5. H(25)=16,5; H(64)=18,84; H(185)=26,1
  6. H : t \rightarrow 0,06 t + 15 mit x \in R^+

Aufgabe 7:

  1. x kann Werte 0 \le x \le 3 annehmen.
  2. Definitionsmenge ist [0;3], Zielmenge ist R.
  3. V(0,5)=12,5; V(1,3)=15,028; V(2,4)=3,456
  4. V(0,2)=6,272; V(1,6)=12,544; V(2,7)=0,972
  5. V : x \rightarrow (6-2x)^2 x mit x \in ]0;3[

Bei 4. sind nur jeweils eine Lösung angegeben, die man etwa durch Erstellen einer Wertetabelle oder Ausprobieren erhalten kann.
Mit einem CAS erhältst du natürlich alle Lösungen. Diese schauen, wenn etwa Wurzel vorkommen "furchterschreckend" aus, sind sie aber nicht! Wurzeln sind dir noch nicht bekannt.
Du kannst diese Datei herunterladen und mit GeoGebra-CAS (oder Webstart) öffnen und damit die Berechnungen durchführen.


Der Graph einer Funktion ist dir schon bekannt. Wir werden ihn auf der nächsten Seite mathematisch exakt definieren.

\rightarrow Der Funktionsgraph
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