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Version vom 29. Dezember 2011, 11:13 Uhr
Zuordnungen - Graph und Wertetabelle - Der Funktionsbegriff - Der Funktionsgraph - Beispiele und Übungen
Inhaltsverzeichnis |
Wiederholung
Du hast schon viel über Funktionen kennengelernt. Du kennst lineare Funktionen, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen. Dabei hast du die Funktionstypen und ihre Eigenschaften betrachtet. Wir wollen nun sehen, was allgemein eine Funktion ist und welche Darstellungsarten und Eigenschaften Funktionen haben.
Teste beim Lernzirkel Funktionen was du von Funktionen kennst. Notiere was du weißt und was du nicht weißt.
Der Funktionsgraph
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Ein wesentlicher Gesichtspunkt bei Funktionen ist der Funktionsgraph.
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Die Wertetabelle
Handytarif
Ein Beispiel für einen Zusammenhang zwischen Größen ist die Abhängigkeit der Höhe der Telefonrechnung von der Gesprächszeit. Sie kann in Worten beschrieben oder durch eine Formel ausgedrückt werden.
Aufgabe 2
1. Ein Handybetreiber bietet folgenden Tarif an: Die monatliche Grundgebühr beträgt 15 €. Für 1 Minute telefonieren in alle Netze Österreichs werden 0,06 € verrechnet. Die Abrechnung erfolgt minutengenau (d.h. für eine angebrochene Minute wird der volle Preis für 1 Minute verrechnet). Um schnell ermitteln zu können, wie hoch die Rechnung für eine gegebene Gesprächszeit ist, ist es praktisch, eine Formel dafür zur Hand zu haben:
Tipp: Trage die Geldbeträge in die folgende Tabelle ein! Fällt dir eine Gesetzmäßigkeit auf, die es dir erlaubt, auch die letzte Zeile auszufüllen? Die Abhängigkeit der Höhe der Telefonrechnung von der Gesprächszeit kann in Form einer Tabelle dargestellt werden. 2. An der Hotline des Handyanbieters sitzt ein Mitarbeiter, der Formeln nicht ausstehen kann! Dennoch muss er vielen AnruferInnen mitteilen, wie hoch ihre Rechnung sein wird, wenn sie soundsoviel telefonieren. Er bevorzugt die Verwendung einer Tabelle, in der alle für ihn relevanten Zahlen stehen.  Tipp: Hier wird erklärt wie man mit einem Tabellenkalkulationsprogramm arbeitet. |
1. Wird die Höhe der Handyrechnung mit H und die Anzahl der Minuten mit t bezeichnet, so kann man schreiben:
Um zum Ausdruck zu bringen, dass die Höhe der Handyrechnung von t abhängt, ist auch die Schreibweise
(gesprochen "H von t ist gleich…") gebräuchlich.
2. Tabelle per Hand oder mit einer Tabellenkalkulation erstellen!
In der Mathematik wird eine Tabelle, wie du sie in der vorigen Aufgabe erstellt hast, als Wertetabelle bezeichnet. In der linken Spalte stehen die Gesprächszeiten, und zu jeder Gesprächszeit t ist in der rechten Spalte der entsprechende Rechnungsbetrag H(t) verzeichnet.
Mit Hilfe einer Tabelle lassen sich verschiedene Fragen schnell beantworten.
Aufgabe 3
In der vorhergehenden Aufgabe hast du eine Wertetabelle erstellt, die der Betreuer der Handy-Hotline benutzen kann, um Fragen zu den Telefonkosten zu beantworten. Umgegend erhält er einige Anrufe. Nimm die Tabelle zur Hand und hilf ihm, die richtigen Auskünfte zu erteilen! 
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(1) Silvia muss 18,60 € zahlen
(2) Fritz Rechnung beträgt 19,50 €
(3) Sabine darf höchstens 100 Minuten im Monat telefonieren
(4) Max hat nicht Recht, da die Grundgebühr nur einmal verrechnet wird.
Bau einer Schachtel
In den bisherigen Aufgaben sind nur diskrete Zahlenwerte (ganzzahlige Minuten- und Eurobeträge) vorgekommen. Abhängigkeiten können aber auch für kontinuierlichen Größen, die beliebige reelle Zahlenwerte annehmen können, auftreten.
Aufgabe 4
Aus einem quadratischen Stück Papier (Seitenlänge 6) soll eine Schachtel hergestellt werden. Dazu werden bei den Ecken vier kleinere (gleich große) Quadrate herausgeschnitten und das verbleibende Stück Pappe zu einer Schachtel (ohne Deckel) aufgeklappt. Betrachte dazu die Flash-Animation Wie muss die Schachtel dimensioniert werden, damit ihr Volumen möglichst groß ist.
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Das Volumen der Schachtel ist (6 - 2x)2 x. Wird das Volumen mit V bezeichnet, so können wir auch schreiben:
V = (6 - 2x)2 x.
Um zum Ausdruck zu bringen, dass das Volumen von x abhängt, ist auch die Schreibweise
V(x) = (6 - 2x)2 x
(gesprochen "V von x ist gleich ...") gebräuchlich.
Auch diese Form der Abhängigkeit einer Größe von einer anderen kann in Tabellenform dargestellt werden. Allerdings haben wir hier die Freiheit, zu wählen, wie viele Eintragungen eine solche Tabelle enthalten soll.
Die Abhängigkeit einer reellen Größe von einer anderen kann in Form einer Tabelle dargestellt werden. Allerdings können wir nicht alle reellen Zahlen aufzählen und müssen uns daher auf einzelne ausgewählte Werte beschränken. Dementsprechend können aus einer Abhängigkeit verschiedene Tabellen (die sich z.B. durch die Schrittweite unterscheiden) gewonnen werden.
Aufgabe 5
In der vorhergehenden Aufgabe wurde das Volumen der Schachtel in Abhängigkeit von x, der Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate, berechnet. Was nützt uns eine solche Formel? Wir können die durch sie beschriebene Abhängigkeit auf verschiedene Weisen darstellen. Eine Darstellungsform ist die Wertetabelle, d.h. eine Auflistung von ausgewählten Werten von x mit den zugehörigen Werten von V(x). Eine einfache Wertetabelle sieht so aus:
Wir wollen es aber jetzt genauer wissen! Erstelle aus der Formel
Wenn du die Tabellen fertiggestellt hast, betrachte die in ihnen stehenden Zahlen. Beantworte die folgenden Fragen:
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für das Schachtelvolumen
In diesen beiden GeoGebra-Dateien sind die Werte für Schrittweite 0,3 und Schrittweite 0,1 notiert.
- x = 0,9 für Schrittweite 0,3; x = 1 für Schrittweite 0,1
- x beginnt bei x = 0 zu wachsen. Die Werte von V nehmen von V=0 zu. Das Volumen nimmt einen größten Wert in der Wertetabelle an und nimmt dann wieder ab bis wieder V=0 ist.
- Zuerst ist die Höhe Null oder fast Null, damit das Volumen auch etwa Null. Gegen Ende wird die Grundfläche fast Null oder Null und damit auch wieder das Volumen.
- Genauigkeit +/-0,15 für Schrittweite 0,3 und +/- 0,05 für Schrittweite 0,1
In den zwei Videos wird der Zusammenhang Wertetabelle, Graph, Funktionsterm deutlich:
{{#ev:youtube |-JbUpecGKPY|300} {{#ev:youtube |gL8HZlvkj8o|300} {{#ev:youtube |4A3umDMETsw|300}
Als nächstes wollen wir genau definieren, wie Abhängigkeiten in der Mathematik beschrieben werden.
Funktionen_Einstieg/Der Funktionsbegriff
