Eigenschaften von Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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=Monotonie=
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[[Funktionen_Einstieg/Beispiele zum Funktionsbegriff|Zuordnungen - Graph und Wertetabelle]] - [[Funktionen_Einstieg/Der_Funktionsbegriff|Der Funktionsbegriff]] - [[Funktionen_Einstieg/Graphen|Der Funktionsgraph]] - [[Funktionen_Einstieg/Beispiele|Beispiele und Übungen]] - [[Funktionen_Einstieg/Eigenschaften von Funktionen|Eigenschaften von Funktionen]]
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{{Arbeiten|NUMMER=1|
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Du hast nun Funktionen als Objekte in der Mathematik kennengelernt. Objekte in der Mathematik haben auch Eigenschaften. Du kennst bereits Eigenschaften von Funktionen ohne sie explizit benannt zu haben. Als Nächstes wollen wir die Eigenschaften Monotonie, Symmetrie und Grenzwert von Funktionen betrachten.  
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Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben. <br>
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# <math>x^2</math> in <math>R^+</math> [[datei:Monotonie_quadratfunktion.jpg]]
 
  
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# <math>sin(x)</math> in [0;1] [[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]
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:::[[Funktionen_Einstieg/Monotonie|Monotonie]]
  
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# <math> -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> in [0;3] [[datei:Monotonie_kubikfunktion.jpg]]
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:::::::::[[Funktionen_Einstieg/Symmetrie|Symmetrie]]
  
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Was fällt dir auf?
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:::::::::::::::[[Funktionen_Einstieg/Grenzwert|Grenzwert]]
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Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?
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{{Lösung versteckt|
 
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Alle drei Funktionsgraphen "steigen" in dem angegebenen Intervall an.}}
 
  
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Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.
 
  
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Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton zunehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math>
 
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Nun hast du es geschafft, du kennst eine exakte Definition der Funktion und kannst sicher mit Funktionen und ihren Darstellungsformen umgehen. Du hast Eigenschaften von Funktionen kennengelernt und weißt, dass Funktionen mathematische Objekte sind.
  
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{{Arbeiten|NUMMER=2|
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Mit Funktionen kann man ähnliche Betrachtungen wie bei Zahlen machen. Eine spezielle Art von Funktionen sind Polynomfunktionen, die einen Ring bilden. Einen algebraischen Ring kennst du mit der Menge der ganzen Zahlen <math> Z </math>. Wie bei den ganzen Zahlen kann man Polynomfunktionen addieren, subtrahieren und multiplizieren. Nur die Division geht wie in der Menge der ganzen Zahlen die Division nicht immer. In diesem Video
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Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen
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<center>{{#ev:youtube |mPdratwcWMA|350}}</center>
  
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# <math>x^2</math> in <math>R^-</math> [[datei:Monotonie_quadratfunktion2.jpg]]
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wird diese Problematik angesprochen. Du siehst, dass die Division von Polynomfunktionen ähnlich wie die Division mit ganzen Zahlen funktioniert und - wie die Division in der Menge der ganzen Zahlen - aufgehen oder nicht aufgehen kann.
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<center> Nun weißt du, dass es bei Funktionen noch einiges zum Kennenlernen gibt!</center>
  
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# <math>sin(x)</math> in [2;3] [[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]
 
  
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# <math> -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> in [-3;0] [[datei:Monotonie_kubikfunktion2.jpg]]
 
  
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Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?
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Zurück zur [[Funktionen_Einstieg|Startseite]]
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Alle drei Funktionsgraphen "fallen" in dem angegebenen Intervall.}}
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Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.
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Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton abnehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math>
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Man könnte diese Begriffe '''monoton zunehmend''' und '''monoton abnehmend''' auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings '''steigend''' und '''fallend'''.
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Eine Funktionsgraph <math> G_f</math> heißt '''streng monoton steigend''' im Intervall [a;b], wenn die Funktion <math>f</math> dort streng monoton zunehmend ist, <br>
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(d.h.für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math>
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Eine Funktionsgraph <math> G_f</math> heißt '''streng monoton fallend''' im Intervall [a;b], wenn die Funktion <math>f</math> dort streng monoton abnehmend ist, <br>
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(d.h. für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math>
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=Grenzwert=
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=Symmetrie zum Koordinatensystem=
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Aktuelle Version vom 5. Januar 2012, 11:40 Uhr

Zuordnungen - Graph und Wertetabelle - Der Funktionsbegriff - Der Funktionsgraph - Beispiele und Übungen - Eigenschaften von Funktionen


Du hast nun Funktionen als Objekte in der Mathematik kennengelernt. Objekte in der Mathematik haben auch Eigenschaften. Du kennst bereits Eigenschaften von Funktionen ohne sie explizit benannt zu haben. Als Nächstes wollen wir die Eigenschaften Monotonie, Symmetrie und Grenzwert von Funktionen betrachten.


Monotonie
Symmetrie
Grenzwert



Nun hast du es geschafft, du kennst eine exakte Definition der Funktion und kannst sicher mit Funktionen und ihren Darstellungsformen umgehen. Du hast Eigenschaften von Funktionen kennengelernt und weißt, dass Funktionen mathematische Objekte sind.

Mit Funktionen kann man ähnliche Betrachtungen wie bei Zahlen machen. Eine spezielle Art von Funktionen sind Polynomfunktionen, die einen Ring bilden. Einen algebraischen Ring kennst du mit der Menge der ganzen Zahlen Z . Wie bei den ganzen Zahlen kann man Polynomfunktionen addieren, subtrahieren und multiplizieren. Nur die Division geht wie in der Menge der ganzen Zahlen die Division nicht immer. In diesem Video

wird diese Problematik angesprochen. Du siehst, dass die Division von Polynomfunktionen ähnlich wie die Division mit ganzen Zahlen funktioniert und - wie die Division in der Menge der ganzen Zahlen - aufgehen oder nicht aufgehen kann.

Nun weißt du, dass es bei Funktionen noch einiges zum Kennenlernen gibt!


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