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| − | Du hast nun Funktionen als Objekte in der Mathematik kennengelernt. Wir wollen als Nächstes untersuchen, welche Eigenschaften Funktionen haben.
| + | [[Funktionen_Einstieg/Beispiele zum Funktionsbegriff|Zuordnungen - Graph und Wertetabelle]] - [[Funktionen_Einstieg/Der_Funktionsbegriff|Der Funktionsbegriff]] - [[Funktionen_Einstieg/Graphen|Der Funktionsgraph]] - [[Funktionen_Einstieg/Beispiele|Beispiele und Übungen]] - [[Funktionen_Einstieg/Eigenschaften von Funktionen|Eigenschaften von Funktionen]] |
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| − | =Monotonie=
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| − | {{Arbeiten|NUMMER=1|
| + | Du hast nun Funktionen als Objekte in der Mathematik kennengelernt. Objekte in der Mathematik haben auch Eigenschaften. Du kennst bereits Eigenschaften von Funktionen ohne sie explizit benannt zu haben. Als Nächstes wollen wir die Eigenschaften Monotonie, Symmetrie und Grenzwert von Funktionen betrachten. |
| − | ARBEIT=
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| − | Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben. <br>
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| − | a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> in <math>R^+</math> <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion.jpg]]</center>
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| − | b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> in [0;1] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg]]</center>
| + | :::[[Funktionen_Einstieg/Monotonie|Monotonie]] |
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| − | c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> in [0;3] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion.jpg]]</center
| + | :::::::::[[Funktionen_Einstieg/Symmetrie|Symmetrie]] |
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| − | Was fällt dir auf?
| + | :::::::::::::::[[Funktionen_Einstieg/Grenzwert|Grenzwert]] |
| − | Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?
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| − | }}
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| − | {{Lösung versteckt|
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| − | Alle drei Funktionsgraphen "steigen" in dem angegebenen Intervall an.}}
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| − | Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.
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| − | {{Merke|
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| − | Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton zunehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math>
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| − | }}
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| | + | Nun hast du es geschafft, du kennst eine exakte Definition der Funktion und kannst sicher mit Funktionen und ihren Darstellungsformen umgehen. Du hast Eigenschaften von Funktionen kennengelernt und weißt, dass Funktionen mathematische Objekte sind. |
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| − | {{Arbeiten|NUMMER=2|
| + | Mit Funktionen kann man ähnliche Betrachtungen wie bei Zahlen machen. Eine spezielle Art von Funktionen sind Polynomfunktionen, die einen Ring bilden. Einen algebraischen Ring kennst du mit der Menge der ganzen Zahlen <math> Z </math>. Wie bei den ganzen Zahlen kann man Polynomfunktionen addieren, subtrahieren und multiplizieren. Nur die Division geht wie in der Menge der ganzen Zahlen die Division nicht immer. In diesem Video |
| − | ARBEIT=
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| − | Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen
| + | <center>{{#ev:youtube |mPdratwcWMA|350}}</center> |
| − | </center> | + | |
| − | a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> in <math>R^-</math> <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion2.jpg]]</center><br>
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| − | b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> in [2;3] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg]]</center>
| + | wird diese Problematik angesprochen. Du siehst, dass die Division von Polynomfunktionen ähnlich wie die Division mit ganzen Zahlen funktioniert und - wie die Division in der Menge der ganzen Zahlen - aufgehen oder nicht aufgehen kann. |
| | + | <center> Nun weißt du, dass es bei Funktionen noch einiges zum Kennenlernen gibt!</center> |
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| − | c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> in [-3;0] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion2.jpg]]</center>
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| − | Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?
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| − | {{Lösung versteckt|
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| − | Alle drei Funktionsgraphen "fallen" in dem angegebenen Intervall.}}
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| − | | + | Zurück zur [[Funktionen_Einstieg|Startseite]] |
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| − | Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.
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| − | {{Merke|
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| − | Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton abnehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math>
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| − | }}
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| − | Man könnte diese Begriffe '''monoton zunehmend''' und '''monoton abnehmend''' auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings '''monoton steigend''' und '''monoton fallend'''.
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| − | {{Merke|
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| − | Eine Funktionsgraph <math> G_f</math> heißt '''streng monoton steigend''' im Intervall [a;b], wenn die Funktion <math>f</math> dort streng monoton zunehmend ist, <br>
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| − | d.h.für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math>
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| − | Eine Funktionsgraph <math> G_f</math> heißt '''streng monoton fallend''' im Intervall [a;b], wenn die Funktion <math>f</math> dort streng monoton abnehmend ist, <br>
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| − | d.h. für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math>
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| − | }}
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| − | {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
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| − | Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
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| − | <div class="multiplechoice-quiz">
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| − | [[Bild:Monotonie_f1.jpg|200px]]
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| − | (streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)
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| − | [[Bild:Monotonie_f2.jpg|200px]]
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| − | (!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)
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| − | [[Bild:Monotonie_f5.jpg|200px]]
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| − | (!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)
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| − | [[Bild:Monotonie_f3.jpg|200px]]
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| − | (!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)
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| − | [[Bild:Monotonie_f6.jpg|200px]]
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| − | (streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)
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| − | [[Bild:Monotonie_f4.jpg|200px]]
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| − | (!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Bild:Monotonie_f7.jpg|200px]]
| + | |
| − | (streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)
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| − | </div>
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| − | Für die folgende Multiple-Choice-Aufgabe kannst du als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten.
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| − | <div class="multiplechoice-quiz">
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| − | <math>f:x \rightarrow x^2</math> im Intervall [2;8]
| + | |
| − | (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>f:x \rightarrow 2sin(x) + 3 </math> im Intervall [<math>\pi;\frac{3}{2}\pi</math>]
| + | |
| − | (!streng monoton zunehmend) (streng monoton abnehmend) (!weder noch)
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>f:x \rightarrow 2^x </math> im Intervall [-1;4]
| + | |
| − | (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>f:x \rightarrow log_2(x) </math> im Intervall [-1;4]
| + | |
| − | (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>f:x \rightarrow 4-x^2 </math> im Intervall [-1;4]
| + | |
| − | (!streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (weder noch)
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>f:x \rightarrow x^2+2x+1</math> im Intervall [2;8]
| + | |
| − | (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>f:x \rightarrow x^n</math> mit <math> n gerade</math> im Intervall [-4;-1]
| + | |
| − | (!streng monoton zunehmend) (streng monoton abnehmend) (!weder noch)
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>f:x \rightarrow x^n</math> mit <math> n ungerade</math> im Intervall [-3;9]
| + | |
| − | (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
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| − | =Grenzwert=
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| − | {{Merke|
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| − | Zuerst vereinbaren wir:
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| − | sehr große positve Zahlen sind solche positive Zahlen mit großem Betrag (z.B. 1000000)<br>
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| − | sehr großen negative Zahlen sind solche negative Zahlen mit großem Betrag (z.B. –1000000)
| + | |
| − | | + | |
| − | sehr kleine positive Zahlen sind solche positive Zahlen mit kleinem Betrag (z.B. 0,0000001)<br>
| + | |
| − | sehr kleinen negative Zahlen solche negative Zahlen mit kleinem Betrag (z.B. –0,0000001 )
| + | |
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| − | Grenzwerte von Funktionen spiegeln das Verhalten im Unendlichen wieder oder, falls wir x gegen einen anderen Wert als unendlich laufen lassen, das entsprechende Verhalten.
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| − | '''Beispiel:''' Wir betrachten die Funktion <math> f: x \rightarrow x^2</math>
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| − | Wir wollen x gegen unendlich und gegen minus unendlich laufen lassen.
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| − | Wir schreiben für x gegen unendlich: <math>\lim_{n \to \infty}x^2</math>
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| − | und für x gegen minus unendlich: <math>\lim_{n \to -\infty}x^2</math>
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| − | Da in beiden Fällen die Funktionswerte immer größer werden und über alle Grenzen wachsen, ist dann <math>\lim_{n \to \infty}x^2 = \infty</math> und <math>\lim_{n \to -\infty}x^2 =\infty</math>
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| − | Ein Plus-oder Minuszeichen rechts hochgestellt an einer Zahl bei Grenzwerten bedeutet Annäherung von rechts – bzw. von links her an die Zahl
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| − | <math>\lim_{n \to 3^+}x^2</math> heißt: x ist bei der Annäherung größer als 3, also z.B. 3,1 ; 3,01 ; 3,001 usw.
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| − | <math>\lim_{n \to 3^-}x^2</math> heißt: x ist bei der Annäherung kleiner als 3, also z.B. 2,9 ; 2,99 ; 2,999 usw.
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| − | Es ist dann <math>\lim_{n \to 3^+}x^2 = 9 </math> bzw. <math>\lim_{n \to 3^-}x^2 = 9</math>.
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| − | =Symmetrie zum Koordinatensystem=
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Nun hast du es geschafft, du kennst eine exakte Definition der Funktion und kannst sicher mit Funktionen und ihren Darstellungsformen umgehen. Du hast Eigenschaften von Funktionen kennengelernt und weißt, dass Funktionen mathematische Objekte sind.
Mit Funktionen kann man ähnliche Betrachtungen wie bei Zahlen machen. Eine spezielle Art von Funktionen sind Polynomfunktionen, die einen Ring bilden. Einen algebraischen Ring kennst du mit der Menge der ganzen Zahlen 
. Wie bei den ganzen Zahlen kann man Polynomfunktionen addieren, subtrahieren und multiplizieren. Nur die Division geht wie in der Menge der ganzen Zahlen die Division nicht immer. In diesem Video
wird diese Problematik angesprochen. Du siehst, dass die Division von Polynomfunktionen ähnlich wie die Division mit ganzen Zahlen funktioniert und - wie die Division in der Menge der ganzen Zahlen - aufgehen oder nicht aufgehen kann.
